수학ETF	2023년_고3_6월	기출문제
	1~22
	대수, 미적분

[eqn: root {3} of {27} TIMES 4 ^{- {1} over {2}}]의 값은?

⑤

[eqn: root {3} of {27} TIMES 4 ^{- {1} over {2}} = root {3} of {3 ^{3}} TIMES LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{- {1} over {2}}]

[eqn: = 3 times 2^{-1}]

[eqn: = 3 times {1} over {2} = {3} over {2}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 2x + 3]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(3+h) - f(3)} over {h}]의 값은?

④

미분계수의 정의에 의해

[eqn: lim from {h -> 0} {f(3+h) - f(3)} over {h} = f'(3)]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 2x + 3]에서

[eqn: f'(x) = 2x - 2]

따라서 [eqn: f'(3) = 2 times 3 - 2 = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{10} (2a_{k} + 3) = 60]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k}]의 값은?

②

[eqn: sum from {k=1} to {10} (2a_{k} + 3) = 60]에서

[eqn: 2 sum from {k=1} to {10} a_{k} + sum from {k=1} to {10} 3 = 60]

[eqn: sum from {k=1} to {10} 3 = 30]이므로 [eqn: 2 sum from {k=1} to {10} a_{k} + 30 = 60]

∴ [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = 15]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: lim_{x rightarrow 1} f(x) = 4 - f(1)]
을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=1]에서도 연속이다.

즉, [eqn: lim from {x -> 1} f(x) = f(1)]

주어진 조건에서 [eqn: lim from {x -> 1} f(x) = 4 - f(1)]이므로

[eqn: f(1) = 4 - f(1)]에서 [eqn: 2f(1) = 4]

∴ [eqn: f(1) = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = (x^{3} + 1)f(x)]
라 하자. [eqn: f(1) = 2], [eqn: f'(1) = 3]일 때, [eqn: g'(1)]의 값은?

①

함수 [eqn: g(x) = (x^{3} + 1)f(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 곱의 미분법에 의해

[eqn: g'(x) = 3x^{2}f(x) + (x^{3} + 1)f'(x)]

[eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: g'(1) = 3f(1) + 2f'(1)]

주어진 조건에서 [eqn: f(1) = 2], [eqn: f'(1) = 3]이므로

[eqn: g'(1) = 3 times 2 + 2 times 3 = 12]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: cos theta < 0]이고 [eqn: rmsin(-theta) = {1} over {7} cos theta]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

④

[eqn: sin(-theta) = -sin theta]이므로 주어진 식은

[eqn: -sin theta = {1} over {7} cos theta]

즉, [eqn: cos theta = -7 sin theta] ……①

조건에서 [eqn: cos theta < 0]이므로 ①에 의해 [eqn: -7 sin theta < 0]에서 [eqn: sin theta > 0]

삼각함수의 성질 [eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]에 ①을 대입하면

[eqn: sin^{2} theta + (-7 sin theta)^{2} = 1]에서 [eqn: 50 sin^{2} theta = 1]

[eqn: sin^{2} theta = {1} over {50}]

[eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: sin theta = {1} over {sqrt{50}} = {sqrt{2}} over {10}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: - {3 sqrt{2}} over {10}]	② [eqn: - {sqrt{2}} over {10}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt{2}} over {10}]	⑤ [eqn: {3 sqrt{2}} over {10}]

상수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a>2 RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: y=log` _{2} `(x-a)]의 그래프의 점근선이 두 곡선 [eqn: y=log` _{2} ` {x} over {4}], [eqn: y=log` _{{1} over {2}} `x]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. [eqn: rmoverline{AB}=4]일 때, [eqn: a]의 값은?

③

함수 [eqn: y=log_{2}(x-a)]의 그래프의 점근선은 [eqn: x=a]이다.

점근선 [eqn: x=a]가 두 곡선 [eqn: y=log_{2}{x} over {4}], [eqn: y=log_{1 over 2}x]와 만나는 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 각각

[eqn: rm A LEFT ( ITa,log _{2} {a} over {4} RIGHT )], [eqn: rm B(ita,log _{{1} over {2}} a)]

이때 [eqn: log_{2}{a} over {4} = log_{2}a - 2]이고 [eqn: log_{1 over 2}a = -log_{2}a]이므로

[eqn: rmoverline{AB} = left | (log_{2}a - 2) - (-log_{2}a) right | = left | 2log_{2}a - 2 right |]

[eqn: a>2]에서 [eqn: log_{2}a > 1]이므로 [eqn: 2log_{2}a - 2 > 0]

[eqn: rmoverline{AB}=4]이므로 [eqn: 2log_{2}a - 2 = 4]

[eqn: 2log_{2}a = 6]에서 [eqn: log_{2}a = 3]

∴ [eqn: a = 2^{3} = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

두 곡선 [eqn: y=2x^{2}-1], [eqn: y=x^{3}-x^{2}+k]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 양수 [eqn: k]의 값은?

③

두 곡선 [eqn: y=2x^{2}-1], [eqn: y=x^{3}-x^{2}+k]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]이려면

방정식 [eqn: 2x^{2}-1 = x^{3}-x^{2}+k], 즉 [eqn: k = -x^{3}+3x^{2}-1]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]이어야 한다.

[eqn: f(x) = -x^{3}+3x^{2}-1]이라 하면

[eqn: f'(x) = -3x^{2}+6x = -3x(x-2)]

[eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: f(0)=-1]을 갖고, [eqn: x=2]에서 극댓값 [eqn: f(2)=3]을 갖는다.

방정식 [eqn: f(x)=k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되려면 직선 [eqn: y=k]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 극대 또는 극소가 되는 점을 지나야 하므로

[eqn: k = -1] 또는 [eqn: k = 3]

이때 [eqn: k]는 양수이므로 [eqn: k=3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{n} {1} over {(2k-1)a_{k}} = n^{2} + 2n]
을 만족시킬 때, [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}]의 값은?

①

[eqn: S_{n} = sum from {k=1} to {n} {1} over {(2k-1)a_{k}} = n^{2} + 2n]이라 하면

[eqn: n=1]일 때, [eqn: {1} over {a_{1}} = S_{1} = 1^{2} + 2 times 1 = 3] ∴ [eqn: a_{1} = {1} over {3}]

[eqn: n geq 2]일 때, [eqn: {1} over {(2n-1)a_{n}} = S_{n} - S_{n-1}]

[eqn: = n^{2} + 2n - left { (n-1)^{2} + 2(n-1) right } = 2n + 1]

이 식에 [eqn: n=1]을 대입하면 [eqn: 2 times 1 + 1 = 3]으로 [eqn: n=1]일 때의 값과 일치하므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {1} over {(2n-1)a_{n}} = 2n + 1]

∴ [eqn: a_{n} = {1} over {(2n-1)(2n+1)}]

따라서 구하는 값은 [eqn: sum from {n=1} to {10} a_{n} = sum from {n=1} to {10} {1} over {(2n-1)(2n+1)}]

[eqn: = sum from {n=1} to {10} {1} over {2} left ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n+1} right )]

[eqn: = {1} over {2} left { left ( 1 - {1} over {3} right ) + left ( {1} over {3} - {1} over {5} right ) + cdots + left ( {1} over {19} - {1} over {21} right ) right }][eqn: = {1} over {2} left ( 1 - {1} over {21} right ) = {10} over {21}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {10} over {21}]	② [eqn: {4} over {7}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {16} over {21}]	⑤ [eqn: {6} over {7}]

양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f(x)=kx(x-2)(x-3)]
이다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 원점 [eqn: rmO]와 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] ([eqn: rmoverline{OP} < overline{OQ}])에서 만난다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 선분 [eqn: rmOP]로 둘러싸인 영역을 [eqn: A], 곡선 [eqn: y=f(x)]와 선분 [eqn: rmPQ]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B]라 하자.
([eqn: A]의 넓이) - ([eqn: B]의 넓이) = [eqn: 3]
일 때, [eqn: k]의 값은?

②

[eqn: f(x) = kx(x-2)(x-3) = 0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: rmoverline{OP} < overline{OQ}]이므로 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

그래프에서 영역 [eqn: A]는 [eqn: x]축 위쪽에, 영역 [eqn: B]는 [eqn: x]축 아래쪽에 있으므로

([eqn: A]의 넓이) [eqn: = int from {0} to {2} f(x) dx], ([eqn: B]의 넓이) [eqn: = - int from {2} to {3} f(x) dx]

주어진 조건에서 ([eqn: A]의 넓이) - ([eqn: B]의 넓이) [eqn: = 3]이므로

[eqn: int from {0} to {2} f(x) dx - left ( - int from {2} to {3} f(x) dx right ) = 3]

[eqn: int from {0} to {2} f(x) dx + int from {2} to {3} f(x) dx = 3], [eqn: int from {0} to {3} f(x) dx = 3]

[eqn: f(x) = k(x^{3} - 5x^{2} + 6x)]이므로

[eqn: int from {0} to {3} k(x^{3} - 5x^{2} + 6x) dx = k left [ {1} over {4} x^{4} - {5} over {3} x^{3} + 3x^{2} right ]_{0}^{3}]

[eqn: = k left ( {81} over {4} - 45 + 27 right ) = {9} over {4} k]

즉, [eqn: {9} over {4} k = 3]에서 [eqn: k = {4} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

그림과 같이 실수 [eqn: t][eqn: LEFT ( 0<t<1 RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y = x^{2}] 위의 점 중에서 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과의 거리가 최소인 점을 [eqn: rmP]라 하고, 직선 [eqn: rmOP]가 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 1-} {} {{bar{rmPQ}}} over {1-t}] 의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

곡선 [eqn: y = x^{2}] 위의 점 중에서 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과의 거리가 최소인 점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과 평행한 접선의 접점이다.

[eqn: y = x^{2}]에서 [eqn: y' = 2x]이므로 [eqn: 2x = 2t]에서 [eqn: x = t]

따라서 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: rm P(itt,t ^{2} )]이다.

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rm P(itt,t ^{2} )]를 지나는 직선 [eqn: rmOP]의 방정식은 [eqn: y = tx]이다.

직선 [eqn: rmOP]와 직선 [eqn: y = 2tx - 1]이 만나는 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: tx = 2tx - 1]에서 [eqn: tx = 1] ∴ [eqn: x = {1} over {t}]

따라서 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rm Q LEFT ( it {1} over {t} ,1 RIGHT )]이다.

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리 [eqn: rmoverline{PQ}]는

[eqn: rm {bar{PQ}} =it sqrt {LEFT ( {1} over {t} -t RIGHT ) ^{2} +(1-t ^{2} ) ^{2}}][eqn: = sqrt {{(1-t ^{2} ) ^{2}} over {t ^{2}} +(1-t ^{2} ) ^{2}} = sqrt {{(1-t ^{2} ) ^{2} (1+t ^{2} )} over {t ^{2}}}]

[eqn: 0 < t < 1]에서 [eqn: 1 - t^{2} > 0]이므로 [eqn: {bar{rmPQ}} =it {1-t ^{2}} over {t} sqrt {1+t ^{2}}]

따라서 구하는 극한값은

[eqn: lim _{t -> 1-} {} {{bar{rmPQ}}} over {1-t} = lim _{t -> 1-} {} {{1-t ^{2}} over {t} sqrt {1+t ^{2}}} over {1-t}][eqn: = lim from {t -> 1-} {(1 - t)(1 + t) sqrt{1 + t^{2}}} over {t(1 - t)}]

[eqn: = lim from {t -> 1-} {(1 + t) sqrt{1 + t^{2}}} over {t}][eqn: = {(1 + 1) sqrt{1 + 1}} over {1} = 2 sqrt{2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: sqrt{6}]	② [eqn: sqrt{7}]	③ [eqn: 2 sqrt{2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: sqrt{10}]

[eqn: a_{2} = -4]이고 공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 수열 [eqn: left { b_{n} right }]을 [eqn: b _{n} =a _{n} +a _{n+1}][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )][eqn: b_{n} = a_{n} + a_{n+1} left ( n geq 1 right )]이라 하고, 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]를
[eqn: A= LEFT { a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ,`a _{4} ,`a _{5} RIGHT }], [eqn: B= LEFT { b _{1} ,`b _{2} ,`b _{3} ,`b _{4} ,`b _{5} RIGHT }]
라 하자. [eqn: n left ( A cap B right ) = 3]이 되도록 하는 모든 수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{20}]의 값의 합은?

⑤

수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공차를 [eqn: d] ([eqn: d neq 0])라 하면

[eqn: a_{k} = -4 + (k-2)d] ([eqn: k=1, 2, 3, 4, 5])

수열 [eqn: left { b_{n} right }]의 원소 [eqn: b_{m}] ([eqn: m=1, 2, 3, 4, 5])은

[eqn: b _{m} =a _{m} +a _{m+1}][eqn: = LEFT { -4+(m-2)d RIGHT } + LEFT { -4+(m-1)d RIGHT } =-8+(2m-3)d]

[eqn: A cap B]의 원소를 찾기 위해 [eqn: b_{m} = a_{k}]라 하면

[eqn: -8 + (2m-3)d = -4 + (k-2)d]에서 [eqn: (k - 2m + 1)d = -4]

[eqn: d neq 0]이므로 [eqn: k = 2m - 1 - {4} over {d}]

[eqn: m=1, 2, 3, 4, 5]일 때 [eqn: k]의 값은 공차가 [eqn: 2]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: n left ( A cap B right ) = 3]이려면 [eqn: k]의 값 중 집합 [eqn: left { 1, 2, 3, 4, 5 right }]에 속하는 원소가 정확히 [eqn: 3]개여야 하므로, 그 [eqn: 3]개의 수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]뿐이다.

따라서 [eqn: m]의 연속된 세 값에 대응하는 [eqn: k]의 값이 각각 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]가 되어야 한다.

(ⅰ) [eqn: m=2, 3, 4]일 때 [eqn: k=1, 3, 5]인 경우

[eqn: m=2]일 때 [eqn: k=1]이므로 [eqn: 1 = 3 - {4} over {d}]에서 [eqn: d = 2]

(ⅱ) [eqn: m=3, 4, 5]일 때 [eqn: k=1, 3, 5]인 경우

[eqn: m=3]일 때 [eqn: k=1]이므로 [eqn: 1 = 5 - {4} over {d}]에서 [eqn: d = 1]

(참고로 [eqn: m=1, 2, 3]일 때 [eqn: k=1, 3, 5]인 경우는 [eqn: 1 = 1 - {4} over {d}]에서 모순이다.)

[eqn: a_{20} = a_{2} + 18d = -4 + 18d]이므로

[eqn: d=1]일 때 [eqn: a_{20} = 14]

[eqn: d=2]일 때 [eqn: a_{20} = 32]

따라서 모든 [eqn: a_{20}]의 값의 합은 [eqn: 14 + 32 = 46]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 46]

그림과 같이
[eqn: rmoverline{BC} = 3], [eqn: rmoverline{CD} = 2], [eqn: rmcos(angle BCD) = - {1} over {3}], [eqn: rmangle DAB > {pi} over {2}]
인 사각형 [eqn: rmABCD]에서 두 삼각형 [eqn: rmABC]와 [eqn: rmACD]는 모두 예각삼각형이다. 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점 [eqn: rmE]에 대하여 선분 [eqn: rmAE]를 지름으로 하는 원이 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAD]와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 각각 [eqn: rmP_{1}], [eqn: rmP_{2}]라 하고, 선분 [eqn: rmCE]를 지름으로 하는 원이 두 선분 [eqn: rmBC], [eqn: rmCD]와 만나는 점 중 [eqn: rmC]가 아닌 점을 각각 [eqn: rmQ_{1}], [eqn: rmQ_{2}]라 하자. [eqn: rmoverline{P{}_{{1}} P _{{2}}} : overline{Q_{1}Q_{2}} = 3 : 5 sqrt{2}] 이고 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이가 [eqn: 2]일 때, [eqn: rmoverline{AB} + overline{AD}]의 값은? (단, [eqn: rmoverline{AB} > overline{AD}])

①

삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{BD}^{2} = overline{BC}^{2} + overline{CD}^{2} - 2 cdot overline{BC} cdot overline{CD} cos(angle BCD)]

[eqn: = 3^{2} + 2^{2} - 2 cdot 3 cdot 2 cdot left ( - {1} over {3} right ) = 17]

∴ [eqn: rmoverline{BD} = sqrt{17}]

[eqn: rm sin ^{2} ( ANGLE BCD)+cos ^{2} ( ANGLE rmBCD)=1]이고 [eqn: rmangle BCD]는 삼각형의 내각이므로

[eqn: rmsin(angle BCD) = sqrt{1 - left ( - {1} over {3} right )^{2}} = {2 sqrt{2}} over {3}]

선분 [eqn: rmAE]를 지름으로 하는 원에서 삼각형 [eqn: rmAP{}_{{1}} P _{{2}}]가 내접하므로 사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{P{}_{{1}} P _{{2}}} = overline{AE} sin(angle DAB)]

선분 [eqn: rmCE]를 지름으로 하는 원에서 삼각형 [eqn: rmCQ_{1}Q_{2}]가 내접하므로 사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{Q_{1}Q_{2}} = overline{CE} sin(angle BCD) = overline{CE} cdot {2 sqrt{2}} over {3}]

점 [eqn: rmE]가 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:2]로 내분하므로 [eqn: rmoverline{CE} = 2 overline{AE}]

[eqn: rmoverline{P{}_{{1}} P _{{2}}} : overline{Q_{1}Q_{2}} = 3 : 5 sqrt{2}]에서

[eqn: rmoverline{AE} sin(angle DAB) : 2 overline{AE} cdot {2 sqrt{2}} over {3} = 3 : 5 sqrt{2}]

[eqn: rm5 sqrt{2} sin(angle DAB) = 4 sqrt{2}]

∴ [eqn: rmsin(angle DAB) = {4} over {5}]

[eqn: rmangle DAB > {pi} over {2}]이므로 [eqn: rmcos(angle DAB) < 0]

[eqn: rmcos(angle DAB) = - sqrt{1 - sin^{2}(angle DAB)} = - sqrt{1 - left ( {4} over {5} right )^{2}} = - {3} over {5}]

삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이가 [eqn: 2]이므로

[eqn: rm{1} over {2} overline{AB} cdot overline{AD} sin(angle DAB) = 2]에서 [eqn: rm{1} over {2} overline{AB} cdot overline{AD} cdot {4} over {5} = 2]

∴ [eqn: rmoverline{AB} cdot overline{AD} = 5]

삼각형 [eqn: rmABD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{BD}^{2} = overline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} - 2 overline{AB} cdot overline{AD} cos(angle DAB)]

[eqn: rm17 = overline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} - 2 cdot 5 cdot left ( - {3} over {5} right )]

[eqn: rmoverline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} = 11]

[eqn: rm(overline{AB} + overline{AD})^{2} = overline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} + 2 overline{AB} cdot overline{AD} = 11 + 2 cdot 5 = 21]

[eqn: rmoverline{AB} + overline{AD} > 0]이므로 [eqn: rmoverline{AB} + overline{AD} = sqrt{21}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: sqrt{21}]	② [eqn: sqrt{22}]	③ [eqn: sqrt{23}]

④ [eqn: 2 sqrt{6}]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: a(a geq 0)]에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]를
[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =-t LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-2a RIGHT )]
라 하자. 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=0]일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 [eqn: a]에 대하여, 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량의 최댓값은?

③

점 [eqn: rmP]가 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸려면 [eqn: t>0]에서 [eqn: v(t)]의 부호가 한 번만 바뀌어야 한다.

즉, [eqn: t>0]에서 [eqn: v(t)=0]의 실근 중 홀수 중복도를 갖는 근이 [eqn: 1]개뿐이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때

[eqn: v(t) = -t^{3}(t-1)]이므로 [eqn: t>0]에서 [eqn: t=1]일 때만 [eqn: v(t)]의 부호가 바뀐다.

(ⅱ) [eqn: a>0]일 때

[eqn: t>0]에서 [eqn: v(t)=0]의 근은 [eqn: t=1], [eqn: t=a], [eqn: t=2a]이다.

부호가 한 번만 바뀌려면 세 근 중 두 근이 중근이어야 하므로

[eqn: a=1] 또는 [eqn: 2a=1]

즉, [eqn: a=1] 또는 [eqn: a={1} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 0], [eqn: {1} over {2}], [eqn: 1]이다.

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량을 [eqn: S(a)]라 하면

[eqn: S(a) = int from {0} to {2} v(t) dt]

[eqn: = int from {0} to {2} left { -t(t-1)(t-a)(t-2a) right } dt]

[eqn: = int from {0} to {2} left { -t^{4} + (3a+1)t^{3} - (2a^{2}+3a)t^{2} + 2a^{2}t right } dt]

[eqn: = left [ - {1} over {5} t^{5} + {3a+1} over {4} t^{4} - {2a^{2}+3a} over {3} t^{3} + a^{2}t^{2} right ] _{0} ^{2}]

[eqn: = - {32} over {5} + 4(3a+1) - {8} over {3} (2a^{2}+3a) + 4a^{2}]

[eqn: = - {4} over {3} a^{2} + 4a - {12} over {5}]

[eqn: a=0]일 때, [eqn: S(0) = - {12} over {5}]

[eqn: a={1} over {2}]일 때, [eqn: S left ( {1} over {2} right ) = - {1} over {3} + 2 - {12} over {5} = - {11} over {15}]

[eqn: a=1]일 때, [eqn: S(1) = - {4} over {3} + 4 - {12} over {5} = {4} over {15}]

따라서 위치의 변화량의 최댓값은 [eqn: {4} over {15}]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {7} over {30}]	③ [eqn: {4} over {15}]

④ [eqn: {3} over {10}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

자연수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 있다.

[eqn: a_{1} = k]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = LEFT { {matrix{a _{n} +2n-k&```` LEFT ( a _{n} LEQ 0 RIGHT )#a _{n} -2n-k&``` LEFT ( a _{n} >0 RIGHT )}} RIGHT .]

이다.

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} < 0]이 되도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

②

[eqn: k]는 자연수이므로 [eqn: a_{1} = k > 0]에서

[eqn: a_{2} = a_{1} - 2 times 1 - k = k - 2 - k = -2]

[eqn: a_{2} = -2 leq 0]에서

[eqn: a_{3} = a_{2} + 2 times 2 - k = -2 + 4 - k = 2 - k]

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때

[eqn: a_{3} = 1 > 0]에서 [eqn: a_{4} = 1 - 2 times 3 - 1 = -6]

[eqn: a_{4} leq 0]에서 [eqn: a_{5} = -6 + 2 times 4 - 1 = 1]

[eqn: a_{5} > 0]에서 [eqn: a_{6} = 1 - 2 times 5 - 1 = -10]

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = 1 times (-6) times 1 times (-10) = 60 > 0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때

[eqn: a_{3} = 0]이므로 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = 0]이 되어 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅲ) [eqn: k geq 3]일 때

[eqn: a_{3} = 2 - k < 0]에서 [eqn: a_{4} = a_{3} + 2 times 3 - k = (2 - k) + 6 - k = 8 - 2k]

① [eqn: k=3]일 때

[eqn: a_{3} = -1], [eqn: a_{4} = 2 > 0]에서 [eqn: a_{5} = 2 - 2 times 4 - 3 = -9]

[eqn: a_{5} leq 0]에서 [eqn: a_{6} = -9 + 2 times 5 - 3 = -2]

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = (-1) times 2 times (-9) times (-2) = -36 < 0]이므로 조건을 만족시킨다.

② [eqn: k=4]일 때

[eqn: a_{4} = 0]이므로 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = 0]이 되어 조건을 만족시키지 않는다.

③ [eqn: k geq 5]일 때

[eqn: a_{4} = 8 - 2k < 0]에서 [eqn: a_{5} = a_{4} + 2 times 4 - k = (8 - 2k) + 8 - k = 16 - 3k]

[eqn: k=5]일 때 [eqn: a_{3} = -3], [eqn: a_{4} = -2], [eqn: a_{5} = 1 > 0]에서 [eqn: a_{6} = 1 - 2 times 5 - 5 = -14]

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = (-3) times (-2) times 1 times (-14) = -84 < 0]이므로 조건을 만족시킨다.

[eqn: k geq 6]일 때 [eqn: a_{5} = 16 - 3k < 0]에서 [eqn: a_{6} = a_{5} + 2 times 5 - k = (16 - 3k) + 10 - k = 26 - 4k]

[eqn: k=6]일 때 [eqn: a_{3} = -4], [eqn: a_{4} = -4], [eqn: a_{5} = -2], [eqn: a_{6} = 2]이므로 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} < 0]이 되어 조건을 만족시킨다.

[eqn: k geq 7]일 때 [eqn: a_{6} = 26 - 4k < 0]이므로 [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}], [eqn: a_{5}], [eqn: a_{6}]이 모두 음수이다.

따라서 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} > 0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 6]이므로 그 합은 [eqn: 3 + 5 + 6 = 14]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 26]

부등식 [eqn: 2 ^{x-6} LEQ LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x}]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 3]

부등식 [eqn: 2^{x-6} leq left ( {1} over {4} right )^{x}]에서

[eqn: left ( {1} over {4} right )^{x} = (2^{-2})^{x} = 2^{-2x}]이므로

[eqn: 2^{x-6} leq 2^{-2x}]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: x - 6 leq -2x]

[eqn: 3x leq 6]

[eqn: x leq 2]

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 1], [eqn: 2]이므로 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 1 + 2 = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 8x^{3} - 1]이고 [eqn: f(0) = 3]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 33]

[eqn: f'(x) = 8x^{3} - 1]이므로 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: f(x) = int (8x^{3} - 1) dx = 2x^{4} - x + C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0) = 3]이므로 [eqn: C = 3]

즉, [eqn: f(x) = 2x^{4} - x + 3]

[eqn: x = 2]를 대입하면 [eqn: f(2) = 2 times 2^{4} - 2 + 3 = 33]

따라서 정답은 [eqn: 33]이다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x)=ax^{3}+bx+a]는 [eqn: x=1]에서 극소이다. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: -2]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하시오.

[eqn: 6]

함수 [eqn: f(x) = ax^{3} + bx + a]를 미분하면

[eqn: f'(x) = 3ax^{2} + b]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극소이므로 [eqn: f'(1) = 0]에서

[eqn: 3a + b = 0] ∴ [eqn: b = -3a] ……①

또한 [eqn: x=1]에서의 극솟값이 [eqn: -2]이므로 [eqn: f(1) = -2]에서

[eqn: 2a + b = -2] ……②

①, ②를 연립하여 풀면

[eqn: 2a - 3a = -2]에서 [eqn: a = 2], [eqn: b = -6]

따라서 [eqn: f(x) = 2x^{3} - 6x + 2]이고

[eqn: f'(x) = 6x^{2} - 6 = 6(x+1)(x-1)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = -1] 또는 [eqn: x = 1]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = -1]에서 극대이므로 구하는 극댓값은

[eqn: f(-1) = -2 + 6 + 2 = 6]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수
[eqn: f(x) = a sin bx + 8 - a]
가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq 0]이다.

(나) [eqn: 0 leq x < 2 pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x) = 0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

[eqn: 8]

조건 (가)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq 0]이고 [eqn: a]는 자연수이므로

함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -a + 8 - a = 8 - 2a]이다.

[eqn: 8 - 2a geq 0]에서 [eqn: a leq 4]

[eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중 하나이다.

방정식 [eqn: f(x) = 0]에서 [eqn: a sin bx + 8 - a = 0]

즉, [eqn: sin bx = {a - 8} over {a}]

[eqn: -1 leq sin bx leq 1]이므로 [eqn: -1 leq {a - 8} over {a} leq 1]

이를 만족하는 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 4]뿐이므로 [eqn: a = 4]

[eqn: a = 4]를 대입하면 [eqn: sin bx = -1]

[eqn: 0 leq x < 2 pi]에서 [eqn: 0 leq bx < 2b pi]이고 [eqn: b]는 자연수이다.

함수 [eqn: y = sin bx]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {b}]이므로 [eqn: 0 leq x < 2 pi] 구간에서 그래프는 [eqn: b]개의 주기가 반복된다.

한 주기에서 [eqn: sin bx = -1]을 만족하는 실근은 [eqn: 1]개 존재하므로

[eqn: 0 leq x < 2 pi]에서 방정식 [eqn: sin bx = -1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: b]이다.

조건 (나)에서 실근의 개수가 [eqn: 4]이므로 [eqn: b = 4]

따라서 [eqn: a+b = 4+4 = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = int_{0}^{x} f(t) dt]
가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(9)]의 값을 구하시오.

[eqn: x geq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x) geq g(4)]이고 [eqn: left | g(x) right | geq left | g(3) right |]이다.

[eqn: 39]

[eqn: g(x) = int_{0}^{x} f(t) dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x) = f(x)]이고 [eqn: g(0) = 0]

[eqn: x geq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) geq g(4)]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=4]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: x=4]는 구간 [eqn: x geq 1]의 내부에 있고 [eqn: g(x)]는 미분가능한 함수이므로 [eqn: g'(4) = 0]

[eqn: g'(4) = f(4) = 0]

이차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: f(x) = (x-4)(x- alpha)]라 하면

[eqn: g(x) = int_{0}^{x} (t-4)(t- alpha) dt]

[eqn: x geq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: left | g(x) right | geq left | g(3) right |]이다.

만약 [eqn: g(4) > 0]이면 [eqn: x geq 1]에서 [eqn: g(x) geq g(4) > 0]이므로 [eqn: left | g(x) right | = g(x)]이다.

이때 [eqn: left | g(x) right |]의 최솟값은 [eqn: g(4)]가 되어 [eqn: g(3) leq g(4)]를 만족시켜야 하지만, 이는 [eqn: x=4]에서 최솟값을 갖는다는 사실에 모순이다.

따라서 [eqn: g(4) leq 0]이어야 하고, [eqn: lim from {x -> inf} g(x) = inf]이므로 [eqn: x geq 1]인 구간에서 [eqn: g(x) = 0]인 [eqn: x]가 존재한다.

즉, [eqn: x geq 1]에서 [eqn: left | g(x) right |]의 최솟값은 [eqn: 0]이므로 [eqn: g(3) = 0]

[eqn: g(3) = int_{0}^{3} (t-4)(t- alpha) dt = int_{0}^{3} left ( t^{2} - ( alpha + 4)t + 4 alpha right ) dt = 0]에서

[eqn: left [ {1} over {3} t^{3} - {alpha + 4} over {2} t^{2} + 4 alpha t right ]_{0}^{3} = 9 - {9} over {2} ( alpha + 4) + 12 alpha = 0]

[eqn: 9 - {9} over {2} alpha - 18 + 12 alpha = 0]

[eqn: {15} over {2} alpha = 9] ∴ [eqn: alpha = {6} over {5}]

따라서 [eqn: f(x) = (x-4) left ( x - {6} over {5} right )]이므로

[eqn: f(9) = 5 times left ( 9 - {6} over {5} right ) = 39]

따라서 정답은 [eqn: 39]이다.

실수 [eqn: t]에 대하여 두 곡선 [eqn: y = t - log_{2}x]와 [eqn: y = 2^{x-t}]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f(t)]라 하자.
<보기>의 각 명제에 대하여 다음 규칙에 따라 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 값을 정할 때, [eqn: A+B+C]의 값을 구하시오. (단, [eqn: A+B+C neq 0])

명제 ㄱ이 참이면 [eqn: A=100], 거짓이면 [eqn: A=0]이다.

명제 ㄴ이 참이면 [eqn: B=10], 거짓이면 [eqn: B=0]이다.

명제 ㄷ이 참이면 [eqn: C=1], 거짓이면 [eqn: C=0]이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(1)=1]이고 [eqn: f(2)=2]이다. ㄴ. 실수 [eqn: t]의 값이 증가하면 [eqn: f(t)]의 값도 증가한다. ㄷ. 모든 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(t) geq t]이다.

[eqn: 110]

방정식 [eqn: 2^{x-t} = t - log_{2}x]에서 [eqn: 2^{x-t} + log_{2}x - t = 0]이다.

함수 [eqn: h_{t}(x) = 2^{x-t} + log_{2}x - t]라 하면 [eqn: x]가 증가할 때 [eqn: 2^{x-t}]과 [eqn: log_{2}x]가 모두 증가하므로 [eqn: h_{t}(x)]는 증가함수이다.

[eqn: x=f(t)]가 이 방정식의 근이므로 [eqn: h_{t}(f(t)) = 0]이다.

ㄱ. [eqn: t=1]일 때 [eqn: h_{1}(x) = 2^{x-1} + log_{2}x - 1]에서 [eqn: h_{1}(1) = 2^{0} + log_{2}1 - 1 = 0]이므로 [eqn: f(1)=1]

[eqn: t=2]일 때 [eqn: h_{2}(x) = 2^{x-2} + log_{2}x - 2]에서 [eqn: h_{2}(2) = 2^{0} + log_{2}2 - 2 = 0]이므로 [eqn: f(2)=2]

따라서 참이다. ([eqn: A=100])

ㄴ. [eqn: t_{1} < t_{2}]인 두 실수 [eqn: t_{1}], [eqn: t_{2}]에 대하여

[eqn: h_{t_{2}}(x) - h_{t_{1}}(x) = 2^{x-t_{2}} - 2^{x-t_{1}} - (t_{2} - t_{1})]

[eqn: t_{1} < t_{2}]에서 [eqn: x-t_{2} < x-t_{1}]이므로 [eqn: 2^{x-t_{2}} < 2^{x-t_{1}}]이고 [eqn: t_{2} - t_{1} > 0]이므로

[eqn: h_{t_{2}}(x) - h_{t_{1}}(x) < 0] 즉, [eqn: h_{t_{2}}(x) < h_{t_{1}}(x)]이다.

[eqn: x=f(t_{1})]을 대입하면 [eqn: h_{t_{2}}(f(t_{1})) < h_{t_{1}}(f(t_{1})) = 0]

[eqn: h_{t_{2}}(x)]는 증가함수이고 [eqn: h_{t_{2}}(f(t_{2})) = 0]이므로

[eqn: h_{t_{2}}(f(t_{1})) < h_{t_{2}}(f(t_{2}))]에서 [eqn: f(t_{1}) < f(t_{2})]이다.

따라서 실수 [eqn: t]의 값이 증가하면 [eqn: f(t)]의 값도 증가하므로 참이다. ([eqn: B=10])

ㄷ. [eqn: h_{t}(x)]가 증가함수이므로 [eqn: f(t) geq t]가 성립하려면 [eqn: h_{t}(f(t)) geq h_{t}(t)], 즉 [eqn: 0 geq h_{t}(t)]이어야 한다.

[eqn: h_{t}(t) = 2^{0} + log_{2}t - t = 1 + log_{2}t - t]이므로

[eqn: 1 + log_{2}t - t leq 0]에서 [eqn: log_{2}t leq t - 1]이 모든 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 성립해야 한다.

[eqn: y = log_{2}t]의 그래프와 직선 [eqn: y = t - 1]은 [eqn: t=1], [eqn: t=2]에서 만나고, [eqn: y = log_{2}t]의 그래프는 위로 볼록하므로 [eqn: 1 < t < 2]인 구간에서 [eqn: log_{2}t > t - 1]이다.

즉, [eqn: 1 < t < 2]일 때 [eqn: h_{t}(t) > 0]이 되어 [eqn: f(t) < t]이다.

따라서 거짓이다. ([eqn: C=0])

ㄱ, ㄴ, ㄷ에서 [eqn: A=100], [eqn: B=10], [eqn: C=0]이므로

[eqn: A+B+C = 100+10+0 = 110]

따라서 정답은 [eqn: 110]이다.

정수 [eqn: a(a neq 0)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f(x) = x^{3} - 2ax^{2}]
이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 곱이 [eqn: -12]가 되도록 하는 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f'(10)]의 값을 구하시오.

함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: left { {f(x_{1}) - f(x_{2})} over {x_{1} - x_{2}} right } times left { {f(x_{2}) - f(x_{3})} over {x_{2} - x_{3}} right } < 0]

을 만족시키는 세 실수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]이 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]에

존재한다.

[eqn: 380]

주어진 조건은 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소가 바뀜을 의미한다.

즉, 이 구간 내에 [eqn: f'(x) = 0]을 만족하며 좌우에서 [eqn: f'(x)]의 부호가 바뀌는 [eqn: x]가 존재해야 한다.

[eqn: f(x) = x^{3} - 2ax^{2}]에서

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 4ax = x(3x - 4a)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = {4a} over {3}]이고, [eqn: a neq 0]이므로 이 두 점에서 [eqn: f'(x)]의 부호가 바뀐다.

(ⅰ) [eqn: x = 0]이 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]에 속할 때

[eqn: k < 0 < k + {3} over {2}]에서 [eqn: - {3} over {2} < k < 0]

[eqn: k]는 정수이므로 [eqn: k = -1]

(ⅱ) 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 곱이 [eqn: -12]이므로 [eqn: x = {4a} over {3}]가 속하는 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]를 만족시키는 정수 [eqn: k]의 값의 곱은 [eqn: 12]이어야 한다.

구간의 길이가 [eqn: {3} over {2}]이므로 조건을 만족시키는 정수 [eqn: k]는 연속된 두 정수이거나 하나의 정수이다.

곱이 [eqn: 12]가 되는 연속된 두 정수는 [eqn: 3], [eqn: 4] 또는 [eqn: -4], [eqn: -3]이다.

① [eqn: k = 3], [eqn: 4]일 때

[eqn: k = 3]이면 [eqn: 3 < {4a} over {3} < {9} over {2}]에서 [eqn: {9} over {4} < a < {27} over {8}]

[eqn: k = 4]이면 [eqn: 4 < {4a} over {3} < {11} over {2}]에서 [eqn: 3 < a < {33} over {8}]

이를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

② [eqn: k = -4], [eqn: -3]일 때

[eqn: k = -4]이면 [eqn: -4 < {4a} over {3} < - {5} over {2}]에서 [eqn: -3 < a < - {15} over {8}]

[eqn: k = -3]이면 [eqn: -3 < {4a} over {3} < - {3} over {2}]에서 [eqn: - {9} over {4} < a < - {9} over {8}]

이를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: a]는 [eqn: -2]이다.

따라서 [eqn: a = -2]이므로 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 8x]

[eqn: x = 10]을 대입하면 [eqn: f'(10) = 300 + 80 = 380]

따라서 정답은 [eqn: 380]이다.

포물선 [eqn: y^{2} = -12(x-1)]의 준선을 [eqn: x=k]라 할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

①

포물선 [eqn: y^{2} = -12(x-1)]은 포물선 [eqn: y^{2} = -12x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다.

포물선 [eqn: y^{2} = -12x]에서 [eqn: 4p = -12]이므로 [eqn: p = -3]

이 포물선의 준선의 방정식은 [eqn: x = -(-3) = 3]

구하는 포물선의 준선의 방정식은 [eqn: x = 3 + 1 = 4]이므로 [eqn: k = 4]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 16]

한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여
[eqn: rm 2 {vec{AB}} +itp {vec{rmBC}} =itq {vec{rmCA}}]
일 때, [eqn: p-q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 실수이다.)

④

주어진 식 [eqn: 2 {vec{rmAB}} +p {vec{rmBC}} =q {vec{rmCA}}]에서

[eqn: rmvec{BC} = vec{AC} - vec{AB}], [eqn: vec{CA} = -vec{AC}]이므로

[eqn: 2 {vec{rmAB}} +p( {vec{rmAC}} - {vec{rmAB}} )=-q {vec{rmAC}}]

[eqn: (2-p) {vec{rmAB}} +(p+q) {vec{rmAC}} = {vec{0}}]

세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 한 직선 위에 있지 않으므로 두 벡터 [eqn: rmvec{AB}], [eqn: rmvec{AC}]는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않다.

따라서 [eqn: 2 - p = 0], [eqn: p + q = 0]이므로 [eqn: p = 2], [eqn: q = -2]

∴ [eqn: p - q = 2 - (-2) = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]에서
[eqn: LEFT ( {vec{rmAB}} +k {vec{rmBC}} RIGHT ) CDOT LEFT ( {vec{rmAC}} +3k {vec{rmCD}} RIGHT ) =0]
일 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

②

[eqn: {vec{rmAB}} = {vec{u}}], [eqn: {vec{rmBC}} = {vec{v}}]라 하면 정사각형 [eqn: rmABCD]의 한 변의 길이가 [eqn: 1]이므로

[eqn: left | vec{u} right | = 1], [eqn: left | vec{v} right | = 1], [eqn: vec{u} cdot vec{v} = 0]

[eqn: {vec{rmAC}} = {vec{rmAB}} + {vec{rmBC}} = {vec{u}} + {vec{v}}]이고 [eqn: {vec{rmCD}} =- {vec{rmAB}} =- {vec{u}}]이므로

[eqn: LEFT ( {vec{rmAB}} +k {vec{rmBC}} RIGHT ) CDOT LEFT ( {vec{rmAC}} +3k {vec{rmCD}} RIGHT ) =0]에서

[eqn: left ( vec{u} + k vec{v} right ) cdot left { ( vec{u} + vec{v} ) - 3k vec{u} right } = 0]

[eqn: left ( vec{u} + k vec{v} right ) cdot left { ( 1 - 3k ) vec{u} + vec{v} right } = 0]

[eqn: ( 1 - 3k ) left | vec{u} right |^{2} + left ( 1 + k - 3k^{2} right ) ( vec{u} cdot vec{v} ) + k left | vec{v} right |^{2} = 0]

[eqn: left | vec{u} right | = 1], [eqn: left | vec{v} right | = 1], [eqn: vec{u} cdot vec{v} = 0]을 대입하면

[eqn: 1 - 3k + k = 0] ∴ [eqn: k = {1} over {2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

두 초점이 [eqn: rmF LEFT ( 12,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( -4,`0 RIGHT )]이고, 장축의 길이가 [eqn: 24]인 타원 [eqn: C] 가 있다. [eqn: rmoverline{F'F} = overline{F'P}]인 타원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmF'P]의 중점을 [eqn: rmQ]라 하자. 한 초점이 [eqn: rmF']인 타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} + {y^{2}} over {b^{2}} = 1]이 점 [eqn: rmQ]를 지날 때, [eqn: {bar{rmPF}} +a ^{2} +b ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 양수이다.)

④

두 초점 [eqn: rmF(12, 0)], [eqn: rmF'(-4, 0)]에서 [eqn: rmoverline{F'F} = 12 - (-4) = 16]이다.

조건에서 [eqn: rmoverline{F'F} = overline{F'P}]이므로 [eqn: rmoverline{F'P} = 16]

점 [eqn: rmP]는 장축의 길이가 [eqn: 24]인 타원 [eqn: C] 위의 점이므로 타원의 정의에 의해

[eqn: rmoverline{PF} + overline{F'P} = 24]에서 [eqn: rmoverline{PF} = 24 - 16 = 8]

점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmF'P]의 중점이므로 [eqn: rmoverline{F'Q} = {1} over {2} overline{F'P} = 8]

타원 [eqn: C']의 방정식 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}} + {y^{2}} over {b^{2}} = 1]에서 중심은 원점 [eqn: (0, 0)]이다.

한 초점이 [eqn: rmF'(-4, 0)]이므로 다른 초점을 [eqn: rmF'']이라 하면 [eqn: rmF''(4, 0)]이다.

이때 점 [eqn: rmF''(4, 0)]은 선분 [eqn: rmF'F]의 중점이므로 삼각형 [eqn: rmF'PF]에서 중점연결정리에 의해

[eqn: rmoverline{QF''} = {1} over {2} overline{PF} = 4]

점 [eqn: rmQ]는 타원 [eqn: C'] 위의 점이므로 타원의 정의에 의해

[eqn: 2a= {bar{rmF prime Q}} + {bar{rmQF '' }} =8+4=12] ∴ [eqn: a = 6]

따라서 [eqn: a^{2} = 36]

타원 [eqn: C']의 초점의 좌표가 [eqn: (+- 4, 0)]이므로

[eqn: b^{2} = a^{2} - 4^{2} = 36 - 16 = 20]

따라서 [eqn: {bar{rmPF}} +a ^{2} +b ^{2} =8+36+20=64]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 46]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 58]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 70]

포물선 [eqn: (y-2)^{2}=8(x+2)] 위의 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rm A(0,`2)]에 대하여 [eqn: rmoverline{OP}+overline{PA}]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmP_{0}]이라 하자. [eqn: rmoverline{OQ}+overline{QA}=overline{OP_{0}}+overline{P_{0}A}]를 만족시키는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M^{2}+m^{2}]의 값은? (단, [eqn: O]는 원점이다.)

③

포물선 [eqn: (y-2)^{2}=8(x+2)]의 꼭짓점은 [eqn: (-2, 2)]이고 [eqn: p=2]이므로 초점은 [eqn: (0, 2)], 준선은 [eqn: x=-4]이다.

주어진 점 [eqn: rmA(0, 2)]는 이 포물선의 초점이다.

점 [eqn: rmP]에서 준선 [eqn: x=-4]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 포물선의 정의에 의해 [eqn: rmoverline{PA}=overline{PH}]이므로

[eqn: rmoverline{OP}+overline{PA}=overline{OP}+overline{PH}]

이 값이 최소가 되려면 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rmP], [eqn: rmH]가 일직선 위에 있어야 하므로 최솟값은 원점 [eqn: rmO]에서 준선 [eqn: x=-4]까지의 거리와 같다.

∴ [eqn: rmoverline{OP_{0}}+overline{P_{0}A}=4]

조건에서 [eqn: rmoverline{OQ}+overline{QA}=4]이므로 점 [eqn: rmQ]는 두 점 [eqn: rmO(0, 0)], [eqn: rmA(0, 2)]를 초점으로 하고 거리의 합이 [eqn: 4]인 타원 위의 점이다.

이 타원의 중심은 선분 [eqn: rmOA]의 중점인 [eqn: (0, 1)]이고, 두 초점이 [eqn: y]축 위에 있으므로 장축은 [eqn: y]축과 평행하다.

거리의 합이 [eqn: 4]이므로 장축의 길이는 [eqn: 4]이다.

따라서 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표의 최댓값 [eqn: M]과 최솟값 [eqn: m]은 타원의 중심의 [eqn: y]좌표에서 장축의 길이의 절반인 [eqn: 2]를 각각 더하고 뺀 값과 같으므로

[eqn: M=1+2=3], [eqn: m=1-2=-1]

∴ [eqn: M^{2}+m^{2}=3^{2}+(-1)^{2}=10]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

좌표평면의 네 점 [eqn: rmA(2, 6)], [eqn: rmB(6, 2)], [eqn: rmC(4, 4)], [eqn: rmD(8, 6)]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 [eqn: X] 의 집합을 [eqn: S] 라 하자.

(가) [eqn: rmleft { left ( vec{OX} - vec{OD} right ) cdot vec{OC} right } times left { left | vec{OX} - vec{OC} right | - 3 right } = 0]

(나) 두 벡터 [eqn: rmvec{OX} - vec{OP}]와 [eqn: rmvec{OC}]가 서로 평행하도록 하는 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]가 존재한다.

집합 [eqn: S] 에 속하는 점 중에서 [eqn: y]좌표가 최대인 점을 [eqn: rmQ], [eqn: y]좌표가 최소인 점을 [eqn: rmR]이라 할 때, [eqn: rmvec{OQ} cdot vec{OR}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

⑤

점 [eqn: rmX]의 좌표를 [eqn: (x, y)]라 하면

조건 (가)에서 [eqn: rmleft ( vec{OX} - vec{OD} right ) cdot vec{OC} = 0] 또는 [eqn: rmleft | vec{OX} - vec{OC} right | - 3 = 0]

(ⅰ) [eqn: rmleft ( vec{OX} - vec{OD} right ) cdot vec{OC} = 0]일 때

[eqn: {vec{rmOX}} - {vec{rmOD}} =(x-8,y-6)], [eqn: rmvec{OC} = (4, 4)]이므로

[eqn: 4(x-8) + 4(y-6) = 0]에서 [eqn: x + y = 14]

(ⅱ) [eqn: rmleft | vec{OX} - vec{OC} right | - 3 = 0]일 때

[eqn: rmleft | vec{OX} - vec{OC} right | = 3]에서 [eqn: (x-4)^{2} + (y-4)^{2} = 9]

따라서 점 [eqn: rmX]는 직선 [eqn: x + y = 14] 또는 원 [eqn: (x-4)^{2} + (y-4)^{2} = 9] 위에 있다.

조건 (나)에서 선분 [eqn: rmAB]의 양 끝점이 [eqn: rmA(2, 6)], [eqn: rmB(6, 2)]이므로 선분 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: y = -x + 8] ([eqn: 2 leq x leq 6])

선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a, 8-a)] ([eqn: 2 leq a leq 6])라 하면

[eqn: {vec{rmOX}} - {vec{rmOP}} =(x-a,y-8+a)]

두 벡터 [eqn: rmvec{OX} - vec{OP}]와 [eqn: rmvec{OC}]가 서로 평행하므로

[eqn: x-a = y-8+a]에서 [eqn: x - y = 2a - 8]

[eqn: 2 leq a leq 6]이므로 [eqn: -4 leq 2a - 8 leq 4]

∴ [eqn: -4 leq x - y leq 4]

즉, 점 [eqn: rmX]는 부등식 [eqn: -4 leq x - y leq 4]가 나타내는 영역에 존재한다.

직선 [eqn: x + y = 14] 위의 점이 [eqn: -4 leq x - y leq 4]를 만족하려면

[eqn: y = 14 - x]를 대입하여 [eqn: -4 leq 2x - 14 leq 4]에서 [eqn: 5 leq x leq 9]

이때 [eqn: y = 14 - x]이므로 [eqn: y]좌표의 최댓값은 [eqn: x=5]일 때 [eqn: 9]이고, 최솟값은 [eqn: x=9]일 때 [eqn: 5]이다.

원 [eqn: (x-4)^{2} + (y-4)^{2} = 9] 위의 점 중 [eqn: y]좌표가 최대인 점은 [eqn: (4, 7)]이고 최소인 점은 [eqn: (4, 1)]이다.

두 점 [eqn: (4, 7)], [eqn: (4, 1)]은 모두 [eqn: -4 leq x - y leq 4]를 만족한다.

따라서 집합 [eqn: S]에 속하는 점 중에서 [eqn: y]좌표가 최대인 점은 [eqn: rmQ(5, 9)]이고, 최소인 점은 [eqn: rmR(4, 1)]이다.

[eqn: rmvec{OQ} cdot vec{OR} = (5, 9) cdot (4, 1) = 5 times 4 + 9 times 1 = 29]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 25]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 29]

두 점 [eqn: rmF LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( it-c,`0 RIGHT )] ([eqn: c>0])을 초점으로 하는 두 쌍곡선
[eqn: C_{1} : x^{2} - {y^{2}} over {24} = 1], [eqn: C_{2} : {x^{2}} over {4} - {y^{2}} over {21} = 1]
이 있다. 쌍곡선 [eqn: C_{1}] 위에 있는 제[eqn: 2]사분면 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmPF']이 쌍곡선 [eqn: C_{2}]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: rmoverline{PQ} + overline{QF}], [eqn: rm2overline{PF'}], [eqn: rmoverline{PF} + overline{PF'}] 이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 직선 [eqn: rmPQ]의 기울기는 [eqn: m]이다. [eqn: 60m]의 값을 구하시오.

[eqn: 80]

쌍곡선 [eqn: C_{1} : x^{2} - {y^{2}} over {24} = 1]에서 [eqn: 1 + 24 = 25]이므로 초점은 [eqn: rmF(5, 0)], [eqn: rmF'(-5, 0)]이고 주축의 길이는 [eqn: 2]이다.

쌍곡선 [eqn: C_{2} : {x^{2}} over {4} - {y^{2}} over {21} = 1]에서 [eqn: 4 + 21 = 25]이므로 두 초점은 [eqn: rmF], [eqn: rmF']과 일치하고 주축의 길이는 [eqn: 4]이다.

점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 2]사분면 위의 [eqn: C_{1}] 점이므로 쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: rmoverline{PF} - overline{PF'} = 2]

[eqn: rm {bar{PF prime }} =itp]라 하면 [eqn: rm {bar{PF}} =itp+2]

점 [eqn: rmQ]는 제[eqn: 2]사분면 쪽의 [eqn: C_{2}] 점이므로 쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: rmoverline{QF} - overline{QF'} = 4]

[eqn: rm {bar{QF prime }} =itq]라 하면 [eqn: rm {bar{QF}} =itq+4]

점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmPF'] 위에 있으므로 [eqn: rm {bar{PQ}} = {bar{PF prime }} - {bar{QF prime }} it=p-q]

세 수 [eqn: rmoverline{PQ} + overline{QF}], [eqn: rm2overline{PF'}], [eqn: rmoverline{PF} + overline{PF'}]은 각각

[eqn: rm {bar{PQ}} + {bar{QF}} =it(p-q)+(q+4)=p+4]

[eqn: rm 2 {bar{PF prime }} =2itp]

[eqn: rm {bar{PF}} + {bar{PF prime }} =it(p+2)+p=2p+2]

이 세 수가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항의 성질에 의해

[eqn: 2 times 2p = (p + 4) + (2p + 2)]에서 [eqn: 4p = 3p + 6] ∴ [eqn: p = 6]

따라서 [eqn: rmoverline{PF'} = 6], [eqn: rmoverline{PF} = 8]

삼각형 [eqn: rmPFF']에서 [eqn: rmoverline{PF'} = 6], [eqn: rmoverline{PF} = 8], [eqn: rmoverline{F'F} = 10]이고 [eqn: 6^{2} + 8^{2} = 10^{2}]이 성립하므로 삼각형 [eqn: rmPFF']은 [eqn: rmangle F'PF = 90^{circ}]인 직각삼각형이다.

점 [eqn: rmP(itx,y)]라 하면 두 점 사이의 거리 공식에 의해

[eqn: (x+5)^{2} + y^{2} = 36] ……①, [eqn: (x-5)^{2} + y^{2} = 64] ……②

①, ②를 연립하여 빼면 [eqn: 20x = -28] ∴ [eqn: x = -{7} over {5}]

[eqn: x = -{7} over {5}]을 ①에 대입하면 [eqn: left ( {18} over {5} right )^{2} + y^{2} = 36]에서 [eqn: y^{2} = {576} over {25}]

점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 2]사분면의 점이므로 [eqn: y > 0] ∴ [eqn: y = {24} over {5}]

따라서 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: left ( -{7} over {5}, {24} over {5} right )]이다.

직선 [eqn: rmPQ]는 두 점 [eqn: rmLEFT. P`left(- {7} over {5} , {24} over {5} RIGHT )], [eqn: rmF'(-5, 0)]을 지나는 직선이므로 기울기 [eqn: m]은 [eqn: m = {{24} over {5} - 0} over {-{7} over {5} - (-5)} = {{24} over {5}} over {{18} over {5}} = {4} over {3}]

따라서 [eqn: 60m = 60 times {4} over {3} = 80]

따라서 정답은 [eqn: 80]이다.

직선 [eqn: 2x+y=0] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 타원 [eqn: 2x^{2}+y^{2}=3] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여
[eqn: {vec{rmOX}} = {vec{rmOP}} + {vec{rmOQ}}]
를 만족시키고, [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 [eqn: 0] 이상인 모든 점 [eqn: X]가 나타내는 영역의 넓이는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 13]

점 [eqn: rmX], [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표를 각각 [eqn: (x, y)], [eqn: (x_{P}, y_{P})], [eqn: (x_{Q}, y_{Q})]라 하면

[eqn: overrightarrow{OX} = overrightarrow{OP} + overrightarrow{OQ}]에서

[eqn: x = x_{P} + x_{Q}], [eqn: y = y_{P} + y_{Q}]

점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: 2x+y=0] 위의 점이므로 [eqn: 2x_{P} + y_{P} = 0]

[eqn: 2x+y=2(x _{P} +x _{Q} )+(y _{P} +y _{Q} )=(2x _{P} +y _{P} )+2x _{Q} +y _{Q}][eqn: =2x _{Q} +y _{Q}]

점 [eqn: rmQ]는 타원 [eqn: 2x^{2}+y^{2}=3] 위의 점이므로 [eqn: 2x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2}=3]

코시-슈바르츠 부등식에 의해

[eqn: left ( ( sqrt{2} )^{2} + 1^{2} right ) ( ( sqrt{2} x_{Q} )^{2} + y_{Q}^{2} ) geq ( sqrt{2} times sqrt{2} x_{Q} + 1 times y_{Q} )^{2}]

[eqn: 3 ( 2x_{Q}^{2} + y_{Q}^{2} ) geq ( 2x_{Q} + y_{Q} )^{2}]

[eqn: 3 times 3 geq ( 2x_{Q} + y_{Q} )^{2}]

[eqn: -3 leq 2x_{Q} + y_{Q} leq 3]

[eqn: 2x_{Q} + y_{Q} = 2x + y]이므로 [eqn: -3 leq 2x+y leq 3]

점 [eqn: rmX]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 [eqn: 0] 이상이므로 [eqn: x geq 0], [eqn: y geq 0]

[eqn: x geq 0], [eqn: y geq 0]이면 [eqn: 2x+y geq 0]이므로 [eqn: -3 leq 2x+y]는 항상 성립한다.

따라서 점 [eqn: rmX]가 나타내는 영역은 부등식 [eqn: 2x+y leq 3], [eqn: x geq 0], [eqn: y geq 0]을 만족시키는 영역이다.

이 영역은 [eqn: x]절편이 [eqn: {3} over {2}], [eqn: y]절편이 [eqn: 3]인 직각삼각형이므로 그 넓이는 [eqn: {1} over {2} times {3} over {2} times 3 = {9} over {4}]

[eqn: p=4], [eqn: q=9]이므로 [eqn: p+q = 13]

따라서 정답은 [eqn: 13]이다.