수학ETF	2023년_고3_6월	기출문제
	1~22
	대수, 미적분

[eqn: root {3} of {27} TIMES 4 ^{- {1} over {2}}]의 값은?

⑤

[eqn: root {3} of {27} TIMES 4 ^{- {1} over {2}} = root {3} of {3 ^{3}} TIMES LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{- {1} over {2}}]

[eqn: = 3 times 2^{-1}]

[eqn: = 3 times {1} over {2} = {3} over {2}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 2x + 3]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(3+h) - f(3)} over {h}]의 값은?

④

미분계수의 정의에 의해

[eqn: lim from {h -> 0} {f(3+h) - f(3)} over {h} = f'(3)]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 2x + 3]에서

[eqn: f'(x) = 2x - 2]

따라서 [eqn: f'(3) = 2 times 3 - 2 = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{10} (2a_{k} + 3) = 60]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k}]의 값은?

②

[eqn: sum from {k=1} to {10} (2a_{k} + 3) = 60]에서

[eqn: 2 sum from {k=1} to {10} a_{k} + sum from {k=1} to {10} 3 = 60]

[eqn: sum from {k=1} to {10} 3 = 30]이므로 [eqn: 2 sum from {k=1} to {10} a_{k} + 30 = 60]

∴ [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = 15]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: lim_{x rightarrow 1} f(x) = 4 - f(1)]
을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=1]에서도 연속이다.

즉, [eqn: lim from {x -> 1} f(x) = f(1)]

주어진 조건에서 [eqn: lim from {x -> 1} f(x) = 4 - f(1)]이므로

[eqn: f(1) = 4 - f(1)]에서 [eqn: 2f(1) = 4]

∴ [eqn: f(1) = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = (x^{3} + 1)f(x)]
라 하자. [eqn: f(1) = 2], [eqn: f'(1) = 3]일 때, [eqn: g'(1)]의 값은?

①

함수 [eqn: g(x) = (x^{3} + 1)f(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 곱의 미분법에 의해

[eqn: g'(x) = 3x^{2}f(x) + (x^{3} + 1)f'(x)]

[eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: g'(1) = 3f(1) + 2f'(1)]

주어진 조건에서 [eqn: f(1) = 2], [eqn: f'(1) = 3]이므로

[eqn: g'(1) = 3 times 2 + 2 times 3 = 12]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: cos theta < 0]이고 [eqn: rmsin(-theta) = {1} over {7} cos theta]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

④

[eqn: sin(-theta) = -sin theta]이므로 주어진 식은

[eqn: -sin theta = {1} over {7} cos theta]

즉, [eqn: cos theta = -7 sin theta] ……①

조건에서 [eqn: cos theta < 0]이므로 ①에 의해 [eqn: -7 sin theta < 0]에서 [eqn: sin theta > 0]

삼각함수의 성질 [eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]에 ①을 대입하면

[eqn: sin^{2} theta + (-7 sin theta)^{2} = 1]에서 [eqn: 50 sin^{2} theta = 1]

[eqn: sin^{2} theta = {1} over {50}]

[eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: sin theta = {1} over {sqrt{50}} = {sqrt{2}} over {10}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: - {3 sqrt{2}} over {10}]	② [eqn: - {sqrt{2}} over {10}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt{2}} over {10}]	⑤ [eqn: {3 sqrt{2}} over {10}]

상수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a>2 RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: y=log` _{2} `(x-a)]의 그래프의 점근선이 두 곡선 [eqn: y=log` _{2} ` {x} over {4}], [eqn: y=log` _{{1} over {2}} `x]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. [eqn: rmoverline{AB}=4]일 때, [eqn: a]의 값은?

③

함수 [eqn: y=log_{2}(x-a)]의 그래프의 점근선은 [eqn: x=a]이다.

점근선 [eqn: x=a]가 두 곡선 [eqn: y=log_{2}{x} over {4}], [eqn: y=log_{1 over 2}x]와 만나는 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 각각

[eqn: rm A LEFT ( ITa,log _{2} {a} over {4} RIGHT )], [eqn: rm B(ita,log _{{1} over {2}} a)]

이때 [eqn: log_{2}{a} over {4} = log_{2}a - 2]이고 [eqn: log_{1 over 2}a = -log_{2}a]이므로

[eqn: rmoverline{AB} = left | (log_{2}a - 2) - (-log_{2}a) right | = left | 2log_{2}a - 2 right |]

[eqn: a>2]에서 [eqn: log_{2}a > 1]이므로 [eqn: 2log_{2}a - 2 > 0]

[eqn: rmoverline{AB}=4]이므로 [eqn: 2log_{2}a - 2 = 4]

[eqn: 2log_{2}a = 6]에서 [eqn: log_{2}a = 3]

∴ [eqn: a = 2^{3} = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

두 곡선 [eqn: y=2x^{2}-1], [eqn: y=x^{3}-x^{2}+k]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 양수 [eqn: k]의 값은?

③

두 곡선 [eqn: y=2x^{2}-1], [eqn: y=x^{3}-x^{2}+k]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]이려면

방정식 [eqn: 2x^{2}-1 = x^{3}-x^{2}+k], 즉 [eqn: k = -x^{3}+3x^{2}-1]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]이어야 한다.

[eqn: f(x) = -x^{3}+3x^{2}-1]이라 하면

[eqn: f'(x) = -3x^{2}+6x = -3x(x-2)]

[eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: f(0)=-1]을 갖고, [eqn: x=2]에서 극댓값 [eqn: f(2)=3]을 갖는다.

방정식 [eqn: f(x)=k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되려면 직선 [eqn: y=k]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 극대 또는 극소가 되는 점을 지나야 하므로

[eqn: k = -1] 또는 [eqn: k = 3]

이때 [eqn: k]는 양수이므로 [eqn: k=3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{n} {1} over {(2k-1)a_{k}} = n^{2} + 2n]
을 만족시킬 때, [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}]의 값은?

①

[eqn: S_{n} = sum from {k=1} to {n} {1} over {(2k-1)a_{k}} = n^{2} + 2n]이라 하면

[eqn: n=1]일 때, [eqn: {1} over {a_{1}} = S_{1} = 1^{2} + 2 times 1 = 3] ∴ [eqn: a_{1} = {1} over {3}]

[eqn: n geq 2]일 때, [eqn: {1} over {(2n-1)a_{n}} = S_{n} - S_{n-1}]

[eqn: = n^{2} + 2n - left { (n-1)^{2} + 2(n-1) right } = 2n + 1]

이 식에 [eqn: n=1]을 대입하면 [eqn: 2 times 1 + 1 = 3]으로 [eqn: n=1]일 때의 값과 일치하므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {1} over {(2n-1)a_{n}} = 2n + 1]

∴ [eqn: a_{n} = {1} over {(2n-1)(2n+1)}]

따라서 구하는 값은 [eqn: sum from {n=1} to {10} a_{n} = sum from {n=1} to {10} {1} over {(2n-1)(2n+1)}]

[eqn: = sum from {n=1} to {10} {1} over {2} left ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n+1} right )]

[eqn: = {1} over {2} left { left ( 1 - {1} over {3} right ) + left ( {1} over {3} - {1} over {5} right ) + cdots + left ( {1} over {19} - {1} over {21} right ) right }][eqn: = {1} over {2} left ( 1 - {1} over {21} right ) = {10} over {21}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {10} over {21}]	② [eqn: {4} over {7}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {16} over {21}]	⑤ [eqn: {6} over {7}]

양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f(x)=kx(x-2)(x-3)]
이다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 원점 [eqn: rmO]와 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] ([eqn: rmoverline{OP} < overline{OQ}])에서 만난다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 선분 [eqn: rmOP]로 둘러싸인 영역을 [eqn: A], 곡선 [eqn: y=f(x)]와 선분 [eqn: rmPQ]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B]라 하자.
([eqn: A]의 넓이) - ([eqn: B]의 넓이) = [eqn: 3]
일 때, [eqn: k]의 값은?

②

[eqn: f(x) = kx(x-2)(x-3) = 0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: rmoverline{OP} < overline{OQ}]이므로 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

그래프에서 영역 [eqn: A]는 [eqn: x]축 위쪽에, 영역 [eqn: B]는 [eqn: x]축 아래쪽에 있으므로

([eqn: A]의 넓이) [eqn: = int from {0} to {2} f(x) dx], ([eqn: B]의 넓이) [eqn: = - int from {2} to {3} f(x) dx]

주어진 조건에서 ([eqn: A]의 넓이) - ([eqn: B]의 넓이) [eqn: = 3]이므로

[eqn: int from {0} to {2} f(x) dx - left ( - int from {2} to {3} f(x) dx right ) = 3]

[eqn: int from {0} to {2} f(x) dx + int from {2} to {3} f(x) dx = 3], [eqn: int from {0} to {3} f(x) dx = 3]

[eqn: f(x) = k(x^{3} - 5x^{2} + 6x)]이므로

[eqn: int from {0} to {3} k(x^{3} - 5x^{2} + 6x) dx = k left [ {1} over {4} x^{4} - {5} over {3} x^{3} + 3x^{2} right ]_{0}^{3}]

[eqn: = k left ( {81} over {4} - 45 + 27 right ) = {9} over {4} k]

즉, [eqn: {9} over {4} k = 3]에서 [eqn: k = {4} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

그림과 같이 실수 [eqn: t][eqn: LEFT ( 0<t<1 RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y = x^{2}] 위의 점 중에서 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과의 거리가 최소인 점을 [eqn: rmP]라 하고, 직선 [eqn: rmOP]가 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 1-} {} {{bar{rmPQ}}} over {1-t}] 의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

곡선 [eqn: y = x^{2}] 위의 점 중에서 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과의 거리가 최소인 점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과 평행한 접선의 접점이다.

[eqn: y = x^{2}]에서 [eqn: y' = 2x]이므로 [eqn: 2x = 2t]에서 [eqn: x = t]

따라서 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: rm P(itt,t ^{2} )]이다.

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rm P(itt,t ^{2} )]를 지나는 직선 [eqn: rmOP]의 방정식은 [eqn: y = tx]이다.

직선 [eqn: rmOP]와 직선 [eqn: y = 2tx - 1]이 만나는 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: tx = 2tx - 1]에서 [eqn: tx = 1] ∴ [eqn: x = {1} over {t}]

따라서 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rm Q LEFT ( it {1} over {t} ,1 RIGHT )]이다.

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리 [eqn: rmoverline{PQ}]는

[eqn: rm {bar{PQ}} =it sqrt {LEFT ( {1} over {t} -t RIGHT ) ^{2} +(1-t ^{2} ) ^{2}}][eqn: = sqrt {{(1-t ^{2} ) ^{2}} over {t ^{2}} +(1-t ^{2} ) ^{2}} = sqrt {{(1-t ^{2} ) ^{2} (1+t ^{2} )} over {t ^{2}}}]

[eqn: 0 < t < 1]에서 [eqn: 1 - t^{2} > 0]이므로 [eqn: {bar{rmPQ}} =it {1-t ^{2}} over {t} sqrt {1+t ^{2}}]

따라서 구하는 극한값은

[eqn: lim _{t -> 1-} {} {{bar{rmPQ}}} over {1-t} = lim _{t -> 1-} {} {{1-t ^{2}} over {t} sqrt {1+t ^{2}}} over {1-t}][eqn: = lim from {t -> 1-} {(1 - t)(1 + t) sqrt{1 + t^{2}}} over {t(1 - t)}]

[eqn: = lim from {t -> 1-} {(1 + t) sqrt{1 + t^{2}}} over {t}][eqn: = {(1 + 1) sqrt{1 + 1}} over {1} = 2 sqrt{2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: sqrt{6}]	② [eqn: sqrt{7}]	③ [eqn: 2 sqrt{2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: sqrt{10}]

[eqn: a_{2} = -4]이고 공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 수열 [eqn: left { b_{n} right }]을 [eqn: b _{n} =a _{n} +a _{n+1}][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )][eqn: b_{n} = a_{n} + a_{n+1} left ( n geq 1 right )]이라 하고, 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]를
[eqn: A= LEFT { a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ,`a _{4} ,`a _{5} RIGHT }], [eqn: B= LEFT { b _{1} ,`b _{2} ,`b _{3} ,`b _{4} ,`b _{5} RIGHT }]
라 하자. [eqn: n left ( A cap B right ) = 3]이 되도록 하는 모든 수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{20}]의 값의 합은?

⑤

수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공차를 [eqn: d] ([eqn: d neq 0])라 하면

[eqn: a_{k} = -4 + (k-2)d] ([eqn: k=1, 2, 3, 4, 5])

수열 [eqn: left { b_{n} right }]의 원소 [eqn: b_{m}] ([eqn: m=1, 2, 3, 4, 5])은

[eqn: b _{m} =a _{m} +a _{m+1}][eqn: = LEFT { -4+(m-2)d RIGHT } + LEFT { -4+(m-1)d RIGHT } =-8+(2m-3)d]

[eqn: A cap B]의 원소를 찾기 위해 [eqn: b_{m} = a_{k}]라 하면

[eqn: -8 + (2m-3)d = -4 + (k-2)d]에서 [eqn: (k - 2m + 1)d = -4]

[eqn: d neq 0]이므로 [eqn: k = 2m - 1 - {4} over {d}]

[eqn: m=1, 2, 3, 4, 5]일 때 [eqn: k]의 값은 공차가 [eqn: 2]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: n left ( A cap B right ) = 3]이려면 [eqn: k]의 값 중 집합 [eqn: left { 1, 2, 3, 4, 5 right }]에 속하는 원소가 정확히 [eqn: 3]개여야 하므로, 그 [eqn: 3]개의 수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]뿐이다.

따라서 [eqn: m]의 연속된 세 값에 대응하는 [eqn: k]의 값이 각각 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]가 되어야 한다.

(ⅰ) [eqn: m=2, 3, 4]일 때 [eqn: k=1, 3, 5]인 경우

[eqn: m=2]일 때 [eqn: k=1]이므로 [eqn: 1 = 3 - {4} over {d}]에서 [eqn: d = 2]

(ⅱ) [eqn: m=3, 4, 5]일 때 [eqn: k=1, 3, 5]인 경우

[eqn: m=3]일 때 [eqn: k=1]이므로 [eqn: 1 = 5 - {4} over {d}]에서 [eqn: d = 1]

(참고로 [eqn: m=1, 2, 3]일 때 [eqn: k=1, 3, 5]인 경우는 [eqn: 1 = 1 - {4} over {d}]에서 모순이다.)

[eqn: a_{20} = a_{2} + 18d = -4 + 18d]이므로

[eqn: d=1]일 때 [eqn: a_{20} = 14]

[eqn: d=2]일 때 [eqn: a_{20} = 32]

따라서 모든 [eqn: a_{20}]의 값의 합은 [eqn: 14 + 32 = 46]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 46]

그림과 같이
[eqn: rmoverline{BC} = 3], [eqn: rmoverline{CD} = 2], [eqn: rmcos(angle BCD) = - {1} over {3}], [eqn: rmangle DAB > {pi} over {2}]
인 사각형 [eqn: rmABCD]에서 두 삼각형 [eqn: rmABC]와 [eqn: rmACD]는 모두 예각삼각형이다. 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점 [eqn: rmE]에 대하여 선분 [eqn: rmAE]를 지름으로 하는 원이 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAD]와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 각각 [eqn: rmP_{1}], [eqn: rmP_{2}]라 하고, 선분 [eqn: rmCE]를 지름으로 하는 원이 두 선분 [eqn: rmBC], [eqn: rmCD]와 만나는 점 중 [eqn: rmC]가 아닌 점을 각각 [eqn: rmQ_{1}], [eqn: rmQ_{2}]라 하자. [eqn: rmoverline{P{}_{{1}} P _{{2}}} : overline{Q_{1}Q_{2}} = 3 : 5 sqrt{2}] 이고 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이가 [eqn: 2]일 때, [eqn: rmoverline{AB} + overline{AD}]의 값은? (단, [eqn: rmoverline{AB} > overline{AD}])

①

삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{BD}^{2} = overline{BC}^{2} + overline{CD}^{2} - 2 cdot overline{BC} cdot overline{CD} cos(angle BCD)]

[eqn: = 3^{2} + 2^{2} - 2 cdot 3 cdot 2 cdot left ( - {1} over {3} right ) = 17]

∴ [eqn: rmoverline{BD} = sqrt{17}]

[eqn: rm sin ^{2} ( ANGLE BCD)+cos ^{2} ( ANGLE rmBCD)=1]이고 [eqn: rmangle BCD]는 삼각형의 내각이므로

[eqn: rmsin(angle BCD) = sqrt{1 - left ( - {1} over {3} right )^{2}} = {2 sqrt{2}} over {3}]

선분 [eqn: rmAE]를 지름으로 하는 원에서 삼각형 [eqn: rmAP{}_{{1}} P _{{2}}]가 내접하므로 사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{P{}_{{1}} P _{{2}}} = overline{AE} sin(angle DAB)]

선분 [eqn: rmCE]를 지름으로 하는 원에서 삼각형 [eqn: rmCQ_{1}Q_{2}]가 내접하므로 사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{Q_{1}Q_{2}} = overline{CE} sin(angle BCD) = overline{CE} cdot {2 sqrt{2}} over {3}]

점 [eqn: rmE]가 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:2]로 내분하므로 [eqn: rmoverline{CE} = 2 overline{AE}]

[eqn: rmoverline{P{}_{{1}} P _{{2}}} : overline{Q_{1}Q_{2}} = 3 : 5 sqrt{2}]에서

[eqn: rmoverline{AE} sin(angle DAB) : 2 overline{AE} cdot {2 sqrt{2}} over {3} = 3 : 5 sqrt{2}]

[eqn: rm5 sqrt{2} sin(angle DAB) = 4 sqrt{2}]

∴ [eqn: rmsin(angle DAB) = {4} over {5}]

[eqn: rmangle DAB > {pi} over {2}]이므로 [eqn: rmcos(angle DAB) < 0]

[eqn: rmcos(angle DAB) = - sqrt{1 - sin^{2}(angle DAB)} = - sqrt{1 - left ( {4} over {5} right )^{2}} = - {3} over {5}]

삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이가 [eqn: 2]이므로

[eqn: rm{1} over {2} overline{AB} cdot overline{AD} sin(angle DAB) = 2]에서 [eqn: rm{1} over {2} overline{AB} cdot overline{AD} cdot {4} over {5} = 2]

∴ [eqn: rmoverline{AB} cdot overline{AD} = 5]

삼각형 [eqn: rmABD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{BD}^{2} = overline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} - 2 overline{AB} cdot overline{AD} cos(angle DAB)]

[eqn: rm17 = overline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} - 2 cdot 5 cdot left ( - {3} over {5} right )]

[eqn: rmoverline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} = 11]

[eqn: rm(overline{AB} + overline{AD})^{2} = overline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} + 2 overline{AB} cdot overline{AD} = 11 + 2 cdot 5 = 21]

[eqn: rmoverline{AB} + overline{AD} > 0]이므로 [eqn: rmoverline{AB} + overline{AD} = sqrt{21}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: sqrt{21}]	② [eqn: sqrt{22}]	③ [eqn: sqrt{23}]

④ [eqn: 2 sqrt{6}]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: a(a geq 0)]에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]를
[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =-t LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-2a RIGHT )]
라 하자. 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=0]일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 [eqn: a]에 대하여, 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량의 최댓값은?

③

점 [eqn: rmP]가 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸려면 [eqn: t>0]에서 [eqn: v(t)]의 부호가 한 번만 바뀌어야 한다.

즉, [eqn: t>0]에서 [eqn: v(t)=0]의 실근 중 홀수 중복도를 갖는 근이 [eqn: 1]개뿐이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때

[eqn: v(t) = -t^{3}(t-1)]이므로 [eqn: t>0]에서 [eqn: t=1]일 때만 [eqn: v(t)]의 부호가 바뀐다.

(ⅱ) [eqn: a>0]일 때

[eqn: t>0]에서 [eqn: v(t)=0]의 근은 [eqn: t=1], [eqn: t=a], [eqn: t=2a]이다.

부호가 한 번만 바뀌려면 세 근 중 두 근이 중근이어야 하므로

[eqn: a=1] 또는 [eqn: 2a=1]

즉, [eqn: a=1] 또는 [eqn: a={1} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 0], [eqn: {1} over {2}], [eqn: 1]이다.

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량을 [eqn: S(a)]라 하면

[eqn: S(a) = int from {0} to {2} v(t) dt]

[eqn: = int from {0} to {2} left { -t(t-1)(t-a)(t-2a) right } dt]

[eqn: = int from {0} to {2} left { -t^{4} + (3a+1)t^{3} - (2a^{2}+3a)t^{2} + 2a^{2}t right } dt]

[eqn: = left [ - {1} over {5} t^{5} + {3a+1} over {4} t^{4} - {2a^{2}+3a} over {3} t^{3} + a^{2}t^{2} right ] _{0} ^{2}]

[eqn: = - {32} over {5} + 4(3a+1) - {8} over {3} (2a^{2}+3a) + 4a^{2}]

[eqn: = - {4} over {3} a^{2} + 4a - {12} over {5}]

[eqn: a=0]일 때, [eqn: S(0) = - {12} over {5}]

[eqn: a={1} over {2}]일 때, [eqn: S left ( {1} over {2} right ) = - {1} over {3} + 2 - {12} over {5} = - {11} over {15}]

[eqn: a=1]일 때, [eqn: S(1) = - {4} over {3} + 4 - {12} over {5} = {4} over {15}]

따라서 위치의 변화량의 최댓값은 [eqn: {4} over {15}]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {7} over {30}]	③ [eqn: {4} over {15}]

④ [eqn: {3} over {10}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

자연수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 있다.

[eqn: a_{1} = k]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = LEFT { {matrix{a _{n} +2n-k&```` LEFT ( a _{n} LEQ 0 RIGHT )#a _{n} -2n-k&``` LEFT ( a _{n} >0 RIGHT )}} RIGHT .]

이다.

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} < 0]이 되도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

②

[eqn: k]는 자연수이므로 [eqn: a_{1} = k > 0]에서

[eqn: a_{2} = a_{1} - 2 times 1 - k = k - 2 - k = -2]

[eqn: a_{2} = -2 leq 0]에서

[eqn: a_{3} = a_{2} + 2 times 2 - k = -2 + 4 - k = 2 - k]

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때

[eqn: a_{3} = 1 > 0]에서 [eqn: a_{4} = 1 - 2 times 3 - 1 = -6]

[eqn: a_{4} leq 0]에서 [eqn: a_{5} = -6 + 2 times 4 - 1 = 1]

[eqn: a_{5} > 0]에서 [eqn: a_{6} = 1 - 2 times 5 - 1 = -10]

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = 1 times (-6) times 1 times (-10) = 60 > 0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때

[eqn: a_{3} = 0]이므로 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = 0]이 되어 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅲ) [eqn: k geq 3]일 때

[eqn: a_{3} = 2 - k < 0]에서 [eqn: a_{4} = a_{3} + 2 times 3 - k = (2 - k) + 6 - k = 8 - 2k]

① [eqn: k=3]일 때

[eqn: a_{3} = -1], [eqn: a_{4} = 2 > 0]에서 [eqn: a_{5} = 2 - 2 times 4 - 3 = -9]

[eqn: a_{5} leq 0]에서 [eqn: a_{6} = -9 + 2 times 5 - 3 = -2]

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = (-1) times 2 times (-9) times (-2) = -36 < 0]이므로 조건을 만족시킨다.

② [eqn: k=4]일 때

[eqn: a_{4} = 0]이므로 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = 0]이 되어 조건을 만족시키지 않는다.

③ [eqn: k geq 5]일 때

[eqn: a_{4} = 8 - 2k < 0]에서 [eqn: a_{5} = a_{4} + 2 times 4 - k = (8 - 2k) + 8 - k = 16 - 3k]

[eqn: k=5]일 때 [eqn: a_{3} = -3], [eqn: a_{4} = -2], [eqn: a_{5} = 1 > 0]에서 [eqn: a_{6} = 1 - 2 times 5 - 5 = -14]

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = (-3) times (-2) times 1 times (-14) = -84 < 0]이므로 조건을 만족시킨다.

[eqn: k geq 6]일 때 [eqn: a_{5} = 16 - 3k < 0]에서 [eqn: a_{6} = a_{5} + 2 times 5 - k = (16 - 3k) + 10 - k = 26 - 4k]

[eqn: k=6]일 때 [eqn: a_{3} = -4], [eqn: a_{4} = -4], [eqn: a_{5} = -2], [eqn: a_{6} = 2]이므로 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} < 0]이 되어 조건을 만족시킨다.

[eqn: k geq 7]일 때 [eqn: a_{6} = 26 - 4k < 0]이므로 [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}], [eqn: a_{5}], [eqn: a_{6}]이 모두 음수이다.

따라서 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} > 0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 6]이므로 그 합은 [eqn: 3 + 5 + 6 = 14]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 26]

부등식 [eqn: 2 ^{x-6} LEQ LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x}]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 3]

부등식 [eqn: 2^{x-6} leq left ( {1} over {4} right )^{x}]에서

[eqn: left ( {1} over {4} right )^{x} = (2^{-2})^{x} = 2^{-2x}]이므로

[eqn: 2^{x-6} leq 2^{-2x}]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: x - 6 leq -2x]

[eqn: 3x leq 6]

[eqn: x leq 2]

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 1], [eqn: 2]이므로 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 1 + 2 = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 8x^{3} - 1]이고 [eqn: f(0) = 3]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 33]

[eqn: f'(x) = 8x^{3} - 1]이므로 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: f(x) = int (8x^{3} - 1) dx = 2x^{4} - x + C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0) = 3]이므로 [eqn: C = 3]

즉, [eqn: f(x) = 2x^{4} - x + 3]

[eqn: x = 2]를 대입하면 [eqn: f(2) = 2 times 2^{4} - 2 + 3 = 33]

따라서 정답은 [eqn: 33]이다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x)=ax^{3}+bx+a]는 [eqn: x=1]에서 극소이다. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: -2]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하시오.

[eqn: 6]

함수 [eqn: f(x) = ax^{3} + bx + a]를 미분하면

[eqn: f'(x) = 3ax^{2} + b]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극소이므로 [eqn: f'(1) = 0]에서

[eqn: 3a + b = 0] ∴ [eqn: b = -3a] ……①

또한 [eqn: x=1]에서의 극솟값이 [eqn: -2]이므로 [eqn: f(1) = -2]에서

[eqn: 2a + b = -2] ……②

①, ②를 연립하여 풀면

[eqn: 2a - 3a = -2]에서 [eqn: a = 2], [eqn: b = -6]

따라서 [eqn: f(x) = 2x^{3} - 6x + 2]이고

[eqn: f'(x) = 6x^{2} - 6 = 6(x+1)(x-1)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = -1] 또는 [eqn: x = 1]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = -1]에서 극대이므로 구하는 극댓값은

[eqn: f(-1) = -2 + 6 + 2 = 6]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수
[eqn: f(x) = a sin bx + 8 - a]
가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq 0]이다.

(나) [eqn: 0 leq x < 2 pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x) = 0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

[eqn: 8]

조건 (가)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq 0]이고 [eqn: a]는 자연수이므로

함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -a + 8 - a = 8 - 2a]이다.

[eqn: 8 - 2a geq 0]에서 [eqn: a leq 4]

[eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중 하나이다.

방정식 [eqn: f(x) = 0]에서 [eqn: a sin bx + 8 - a = 0]

즉, [eqn: sin bx = {a - 8} over {a}]

[eqn: -1 leq sin bx leq 1]이므로 [eqn: -1 leq {a - 8} over {a} leq 1]

이를 만족하는 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 4]뿐이므로 [eqn: a = 4]

[eqn: a = 4]를 대입하면 [eqn: sin bx = -1]

[eqn: 0 leq x < 2 pi]에서 [eqn: 0 leq bx < 2b pi]이고 [eqn: b]는 자연수이다.

함수 [eqn: y = sin bx]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {b}]이므로 [eqn: 0 leq x < 2 pi] 구간에서 그래프는 [eqn: b]개의 주기가 반복된다.

한 주기에서 [eqn: sin bx = -1]을 만족하는 실근은 [eqn: 1]개 존재하므로

[eqn: 0 leq x < 2 pi]에서 방정식 [eqn: sin bx = -1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: b]이다.

조건 (나)에서 실근의 개수가 [eqn: 4]이므로 [eqn: b = 4]

따라서 [eqn: a+b = 4+4 = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = int_{0}^{x} f(t) dt]
가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(9)]의 값을 구하시오.

[eqn: x geq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x) geq g(4)]이고 [eqn: left | g(x) right | geq left | g(3) right |]이다.

[eqn: 39]

[eqn: g(x) = int_{0}^{x} f(t) dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x) = f(x)]이고 [eqn: g(0) = 0]

[eqn: x geq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) geq g(4)]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=4]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: x=4]는 구간 [eqn: x geq 1]의 내부에 있고 [eqn: g(x)]는 미분가능한 함수이므로 [eqn: g'(4) = 0]

[eqn: g'(4) = f(4) = 0]

이차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: f(x) = (x-4)(x- alpha)]라 하면

[eqn: g(x) = int_{0}^{x} (t-4)(t- alpha) dt]

[eqn: x geq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: left | g(x) right | geq left | g(3) right |]이다.

만약 [eqn: g(4) > 0]이면 [eqn: x geq 1]에서 [eqn: g(x) geq g(4) > 0]이므로 [eqn: left | g(x) right | = g(x)]이다.

이때 [eqn: left | g(x) right |]의 최솟값은 [eqn: g(4)]가 되어 [eqn: g(3) leq g(4)]를 만족시켜야 하지만, 이는 [eqn: x=4]에서 최솟값을 갖는다는 사실에 모순이다.

따라서 [eqn: g(4) leq 0]이어야 하고, [eqn: lim from {x -> inf} g(x) = inf]이므로 [eqn: x geq 1]인 구간에서 [eqn: g(x) = 0]인 [eqn: x]가 존재한다.

즉, [eqn: x geq 1]에서 [eqn: left | g(x) right |]의 최솟값은 [eqn: 0]이므로 [eqn: g(3) = 0]

[eqn: g(3) = int_{0}^{3} (t-4)(t- alpha) dt = int_{0}^{3} left ( t^{2} - ( alpha + 4)t + 4 alpha right ) dt = 0]에서

[eqn: left [ {1} over {3} t^{3} - {alpha + 4} over {2} t^{2} + 4 alpha t right ]_{0}^{3} = 9 - {9} over {2} ( alpha + 4) + 12 alpha = 0]

[eqn: 9 - {9} over {2} alpha - 18 + 12 alpha = 0]

[eqn: {15} over {2} alpha = 9] ∴ [eqn: alpha = {6} over {5}]

따라서 [eqn: f(x) = (x-4) left ( x - {6} over {5} right )]이므로

[eqn: f(9) = 5 times left ( 9 - {6} over {5} right ) = 39]

따라서 정답은 [eqn: 39]이다.

실수 [eqn: t]에 대하여 두 곡선 [eqn: y = t - log_{2}x]와 [eqn: y = 2^{x-t}]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f(t)]라 하자.
<보기>의 각 명제에 대하여 다음 규칙에 따라 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 값을 정할 때, [eqn: A+B+C]의 값을 구하시오. (단, [eqn: A+B+C neq 0])

명제 ㄱ이 참이면 [eqn: A=100], 거짓이면 [eqn: A=0]이다.

명제 ㄴ이 참이면 [eqn: B=10], 거짓이면 [eqn: B=0]이다.

명제 ㄷ이 참이면 [eqn: C=1], 거짓이면 [eqn: C=0]이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(1)=1]이고 [eqn: f(2)=2]이다. ㄴ. 실수 [eqn: t]의 값이 증가하면 [eqn: f(t)]의 값도 증가한다. ㄷ. 모든 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(t) geq t]이다.

[eqn: 110]

방정식 [eqn: 2^{x-t} = t - log_{2}x]에서 [eqn: 2^{x-t} + log_{2}x - t = 0]이다.

함수 [eqn: h_{t}(x) = 2^{x-t} + log_{2}x - t]라 하면 [eqn: x]가 증가할 때 [eqn: 2^{x-t}]과 [eqn: log_{2}x]가 모두 증가하므로 [eqn: h_{t}(x)]는 증가함수이다.

[eqn: x=f(t)]가 이 방정식의 근이므로 [eqn: h_{t}(f(t)) = 0]이다.

ㄱ. [eqn: t=1]일 때 [eqn: h_{1}(x) = 2^{x-1} + log_{2}x - 1]에서 [eqn: h_{1}(1) = 2^{0} + log_{2}1 - 1 = 0]이므로 [eqn: f(1)=1]

[eqn: t=2]일 때 [eqn: h_{2}(x) = 2^{x-2} + log_{2}x - 2]에서 [eqn: h_{2}(2) = 2^{0} + log_{2}2 - 2 = 0]이므로 [eqn: f(2)=2]

따라서 참이다. ([eqn: A=100])

ㄴ. [eqn: t_{1} < t_{2}]인 두 실수 [eqn: t_{1}], [eqn: t_{2}]에 대하여

[eqn: h_{t_{2}}(x) - h_{t_{1}}(x) = 2^{x-t_{2}} - 2^{x-t_{1}} - (t_{2} - t_{1})]

[eqn: t_{1} < t_{2}]에서 [eqn: x-t_{2} < x-t_{1}]이므로 [eqn: 2^{x-t_{2}} < 2^{x-t_{1}}]이고 [eqn: t_{2} - t_{1} > 0]이므로

[eqn: h_{t_{2}}(x) - h_{t_{1}}(x) < 0] 즉, [eqn: h_{t_{2}}(x) < h_{t_{1}}(x)]이다.

[eqn: x=f(t_{1})]을 대입하면 [eqn: h_{t_{2}}(f(t_{1})) < h_{t_{1}}(f(t_{1})) = 0]

[eqn: h_{t_{2}}(x)]는 증가함수이고 [eqn: h_{t_{2}}(f(t_{2})) = 0]이므로

[eqn: h_{t_{2}}(f(t_{1})) < h_{t_{2}}(f(t_{2}))]에서 [eqn: f(t_{1}) < f(t_{2})]이다.

따라서 실수 [eqn: t]의 값이 증가하면 [eqn: f(t)]의 값도 증가하므로 참이다. ([eqn: B=10])

ㄷ. [eqn: h_{t}(x)]가 증가함수이므로 [eqn: f(t) geq t]가 성립하려면 [eqn: h_{t}(f(t)) geq h_{t}(t)], 즉 [eqn: 0 geq h_{t}(t)]이어야 한다.

[eqn: h_{t}(t) = 2^{0} + log_{2}t - t = 1 + log_{2}t - t]이므로

[eqn: 1 + log_{2}t - t leq 0]에서 [eqn: log_{2}t leq t - 1]이 모든 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 성립해야 한다.

[eqn: y = log_{2}t]의 그래프와 직선 [eqn: y = t - 1]은 [eqn: t=1], [eqn: t=2]에서 만나고, [eqn: y = log_{2}t]의 그래프는 위로 볼록하므로 [eqn: 1 < t < 2]인 구간에서 [eqn: log_{2}t > t - 1]이다.

즉, [eqn: 1 < t < 2]일 때 [eqn: h_{t}(t) > 0]이 되어 [eqn: f(t) < t]이다.

따라서 거짓이다. ([eqn: C=0])

ㄱ, ㄴ, ㄷ에서 [eqn: A=100], [eqn: B=10], [eqn: C=0]이므로

[eqn: A+B+C = 100+10+0 = 110]

따라서 정답은 [eqn: 110]이다.

정수 [eqn: a(a neq 0)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f(x) = x^{3} - 2ax^{2}]
이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 곱이 [eqn: -12]가 되도록 하는 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f'(10)]의 값을 구하시오.

함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: left { {f(x_{1}) - f(x_{2})} over {x_{1} - x_{2}} right } times left { {f(x_{2}) - f(x_{3})} over {x_{2} - x_{3}} right } < 0]

을 만족시키는 세 실수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]이 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]에

존재한다.

[eqn: 380]

주어진 조건은 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소가 바뀜을 의미한다.

즉, 이 구간 내에 [eqn: f'(x) = 0]을 만족하며 좌우에서 [eqn: f'(x)]의 부호가 바뀌는 [eqn: x]가 존재해야 한다.

[eqn: f(x) = x^{3} - 2ax^{2}]에서

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 4ax = x(3x - 4a)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = {4a} over {3}]이고, [eqn: a neq 0]이므로 이 두 점에서 [eqn: f'(x)]의 부호가 바뀐다.

(ⅰ) [eqn: x = 0]이 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]에 속할 때

[eqn: k < 0 < k + {3} over {2}]에서 [eqn: - {3} over {2} < k < 0]

[eqn: k]는 정수이므로 [eqn: k = -1]

(ⅱ) 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 곱이 [eqn: -12]이므로 [eqn: x = {4a} over {3}]가 속하는 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]를 만족시키는 정수 [eqn: k]의 값의 곱은 [eqn: 12]이어야 한다.

구간의 길이가 [eqn: {3} over {2}]이므로 조건을 만족시키는 정수 [eqn: k]는 연속된 두 정수이거나 하나의 정수이다.

곱이 [eqn: 12]가 되는 연속된 두 정수는 [eqn: 3], [eqn: 4] 또는 [eqn: -4], [eqn: -3]이다.

① [eqn: k = 3], [eqn: 4]일 때

[eqn: k = 3]이면 [eqn: 3 < {4a} over {3} < {9} over {2}]에서 [eqn: {9} over {4} < a < {27} over {8}]

[eqn: k = 4]이면 [eqn: 4 < {4a} over {3} < {11} over {2}]에서 [eqn: 3 < a < {33} over {8}]

이를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

② [eqn: k = -4], [eqn: -3]일 때

[eqn: k = -4]이면 [eqn: -4 < {4a} over {3} < - {5} over {2}]에서 [eqn: -3 < a < - {15} over {8}]

[eqn: k = -3]이면 [eqn: -3 < {4a} over {3} < - {3} over {2}]에서 [eqn: - {9} over {4} < a < - {9} over {8}]

이를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: a]는 [eqn: -2]이다.

따라서 [eqn: a = -2]이므로 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 8x]

[eqn: x = 10]을 대입하면 [eqn: f'(10) = 300 + 80 = 380]

따라서 정답은 [eqn: 380]이다.

[eqn: lim_{n rightarrow infty} left ( sqrt{n^{2}+9n} - sqrt{n^{2}+4n} right )]의 값은?

⑤

[eqn: lim from {n -> inf} left ( sqrt{n^{2}+9n} - sqrt{n^{2}+4n} right )]

[eqn: = lim from {n -> inf} {left ( sqrt{n^{2}+9n} - sqrt{n^{2}+4n} right ) left ( sqrt{n^{2}+9n} + sqrt{n^{2}+4n} right )} over {sqrt{n^{2}+9n} + sqrt{n^{2}+4n}}]

[eqn: = lim from {n -> inf} {left ( n^{2}+9n right ) - left ( n^{2}+4n right )} over {sqrt{n^{2}+9n} + sqrt{n^{2}+4n}}]

[eqn: = lim from {n -> inf} {5n} over {sqrt{n^{2}+9n} + sqrt{n^{2}+4n}}]

분모, 분자를 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} {5} over {sqrt{1+{9} over {n}} + sqrt{1+{4} over {n}}} = {5} over {sqrt{1} + sqrt{1}} = {5} over {2}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선
[eqn: x = {5t} over {t^{2} + 1}], [eqn: y = 3 ln(t^{2} + 1)]
에서 [eqn: t = 2]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은?

④

[eqn: x = {5t} over {t^{2} + 1}]의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: {dx} over {dt} = {5(t^{2} + 1) - 5t times 2t} over {(t^{2} + 1)^{2}} = {5 - 5t^{2}} over {(t^{2} + 1)^{2}}]

[eqn: y = 3 ln(t^{2} + 1)]의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: {dy} over {dt} = 3 times {2t} over {t^{2} + 1} = {6t} over {t^{2} + 1}]

[eqn: t = 2]일 때, [eqn: {dx} over {dt}]와 [eqn: {dy} over {dt}]의 값은

[eqn: {dx} over {dt} = {5 - 20} over {25} = - {3} over {5}], [eqn: {dy} over {dt} = {12} over {5}]

매개변수로 나타내어진 함수의 미분법에 의해

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {{12} over {5}} over {- {3} over {5}} = -4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

[eqn: lim_{x rightarrow 0} {2^{ax+b}-8} over {2^{bx}-1} = 16]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이다.)

①

[eqn: x -> 0]일 때 분모가 [eqn: 0]으로 수렴하고 극한값이 존재하므로 분자도 [eqn: 0]으로 수렴해야 한다.

[eqn: lim from {x -> 0} (2^{ax+b}-8) = 2^{b}-8 = 0]에서 [eqn: 2^{b} = 2^{3}] ∴ [eqn: b=3]

주어진 식에 [eqn: b=3]을 대입하면

[eqn: lim from {x -> 0} {2^{ax+3}-8} over {2^{3x}-1} = lim from {x -> 0} {8(2^{ax}-1)} over {2^{3x}-1}]

[eqn: = lim from {x -> 0} {8 times {2^{ax}-1} over {x}} over {{2^{3x}-1} over {x}}][eqn: = {8 times a ln 2} over {3 ln 2} = {8a} over {3}]

[eqn: {8a} over {3} = 16]에서 [eqn: a=6]

∴ [eqn: a+b = 6+3 = 9]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x^{2}-5x+2lnx=t]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: t]의 값의 합은?

②

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 5x + 2 ln x]라 하면 로그의 진수 조건에 의해 정의역은 [eqn: x > 0]이다.

함수 [eqn: f(x)]를 미분하면

[eqn: f'(x) = 2x - 5 + {2} over {x} = {2x^{2} - 5x + 2} over {x} = {(2x-1)(x-2)} over {x}]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = {1} over {2}] 또는 [eqn: x = 2]

함수 [eqn: f(x)]의 증감을 조사하면 [eqn: x = {1} over {2}]에서 극댓값 [eqn: f left ( {1} over {2} right ) = - {9} over {4} - 2 ln 2]를 갖고, [eqn: x = 2]에서 극솟값 [eqn: f(2) = -6 + 2 ln 2]를 갖는다.

또한 [eqn: lim from {x -> 0+} f(x) = -inf], [eqn: lim from {x -> inf} f(x) = inf]이다.

방정식 [eqn: f(x) = t]의 서로 다른 실근의 개수는 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y = t]의 교점의 개수와 같다.

교점의 개수가 [eqn: 2]가 되려면 직선 [eqn: y = t]가 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프의 극대점 또는 극소점을 지나야 하므로

[eqn: t = - {9} over {4} - 2 ln 2] 또는 [eqn: t = -6 + 2 ln 2]

따라서 모든 실수 [eqn: t]의 값의 합은

[eqn: left ( - {9} over {4} - 2 ln 2 right ) + ( -6 + 2 ln 2 ) = - {33} over {4}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -{17} over {2}]	② [eqn: -{33} over {4}]	③ [eqn: -8]

④ [eqn: -{31} over {4}]	⑤ [eqn: -{15} over {2}]

실수 [eqn: t][eqn: LEFT ( 0<t<pi RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y = sin x] 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( itt,`sint RIGHT )]에서의 접선과 점 [eqn: rmP]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: lim_{t rightarrow pi -} {tan theta} over {(pi - t)^{2}}]의 값은?

③

[eqn: f(x) = sin x]라 하면 [eqn: f'(x) = cos x]이므로

점 [eqn: rmP(itt,sint)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: cos t]이다.

두 직선의 기울기가 각각 [eqn: cos t], [eqn: -1]이고 두 직선이 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta]이므로

[eqn: tan theta = left | {cos t - (-1)} over {1 + cos t times (-1)} right | = left | {cos t + 1} over {1 - cos t} right |]

[eqn: 0 < t < pi]에서 [eqn: -1 < cos t < 1]이므로

[eqn: tan theta = {1 + cos t} over {1 - cos t}]

[eqn: lim from {t -> pi -} {tan theta} over {(pi - t)^{2}} = lim from {t -> pi -} {1 + cos t} over {(1 - cos t)(pi - t)^{2}}]

[eqn: pi - t = s]라 하면 [eqn: t -> pi -]일 때 [eqn: s -> 0 +]이고 [eqn: cos t = cos (pi - s) = -cos s]이므로

[eqn: lim from {s -> 0 +} {1 - cos s} over {(1 + cos s)s^{2}} = lim from {s -> 0 +} {1 - cos s} over {s^{2}} times {1} over {1 + cos s}]

[eqn: = lim from {s -> 0 +} {(1 - cos s)(1 + cos s)} over {s^{2}(1 + cos s)} times {1} over {1 + cos s}]

[eqn: = lim from {s -> 0 +} {sin^{2} s} over {s^{2}} times {1} over {(1 + cos s)^{2}}]

[eqn: = 1^{2} times {1} over {(1+1)^{2}} = {1} over {4}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

두 상수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )], [eqn: b]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a times b]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: left { f(x) right }^{2} + 2f(x) = a cos^{3} pi x times e^{sin^{2} pi x} + b]
이다.

(나) [eqn: f(0) = f(2) + 1]

②

조건 (가)의 양변에 [eqn: 1]을 더하면

[eqn: left { f(x) right }^{2} + 2f(x) + 1 = a cos^{3} pi x times e^{sin^{2} pi x} + b + 1]

[eqn: left { f(x) + 1 right }^{2} = a cos^{3} pi x times e^{sin^{2} pi x} + b + 1]

[eqn: g(x) = a cos^{3} pi x times e^{sin^{2} pi x} + b + 1]이라 하면

[eqn: g(0) = a + b + 1], [eqn: g(2) = a + b + 1]이므로 [eqn: g(0) = g(2)]

[eqn: left { f(0) + 1 right }^{2} = left { f(2) + 1 right }^{2}]에서 [eqn: f(0) + 1 = f(2) + 1] 또는 [eqn: f(0) + 1 = - left ( f(2) + 1 right )]

[eqn: f(0) + 1 = f(2) + 1]이면 [eqn: f(0) = f(2)]인데, 이는 조건 (나)의 [eqn: f(0) = f(2) + 1]에 모순이다.

따라서 [eqn: f(0) + 1 = - left ( f(2) + 1 right )]

조건 (나)와 연립하면 [eqn: f(2) + 2 = - f(2) - 1]에서 [eqn: 2f(2) = -3] ∴ [eqn: f(2) = - {3} over {2}]

[eqn: f(0) = - {1} over {2}]

[eqn: g(0) = left { f(0) + 1 right }^{2} = {1} over {4}]이므로 [eqn: a + b + 1 = {1} over {4}]

[eqn: a + b = - {3} over {4}] ……①

함수 [eqn: f(x)+1]은 연속함수이고 [eqn: f(0)+1 = {1} over {2} > 0], [eqn: f(2)+1 = - {1} over {2} < 0]이므로 사잇값 정리에 의해 [eqn: f(c)+1 = 0]인 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: (0, 2)]에 적어도 하나 존재한다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) = left { f(x) + 1 right }^{2} geq 0]이므로 [eqn: x=c]에서 [eqn: g(x)]는 최솟값 [eqn: 0]을 갖는다.

[eqn: g prime (x)][eqn: = -a pi cos^{2} pi x sin pi x e^{sin^{2} pi x} left ( 3 - 2 cos^{2} pi x right )]

[eqn: g'(c) = 0]이어야 하고, [eqn: a>0], [eqn: e^{sin^{2} pi x} > 0], [eqn: 3 - 2 cos^{2} pi x > 0]이므로 [eqn: (0, 2)]에서 [eqn: cos pi c = 0] 또는 [eqn: sin pi c = 0]이다.

[eqn: cos pi x = 0]인 [eqn: x = {1} over {2}], [eqn: {3} over {2}]의 좌우에서는 [eqn: cos^{2} pi x]의 부호가 변하지 않으므로 [eqn: g'(x)]의 부호도 변하지 않는다.

[eqn: sin pi x = 0]인 [eqn: x = 1]의 좌우에서는 [eqn: sin pi x]의 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 [eqn: g'(x)]의 부호는 음수에서 양수로 바뀐다.

따라서 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 최솟값 [eqn: 0]을 갖는다.

[eqn: g(1) = -a + b + 1 = 0]에서 [eqn: a - b = 1] ……②

①, ②를 연립하면 [eqn: 2a = {1} over {4}]에서 [eqn: a = {1} over {8}], [eqn: b = - {7} over {8}]

∴ [eqn: a times b = {1} over {8} times left ( - {7} over {8} right ) = - {7} over {64}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: - {1} over {16}]	② [eqn: - {7} over {64}]	③ [eqn: - {5} over {32}]

④ [eqn: - {13} over {64}]	⑤ [eqn: - {1} over {4}]

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: k]에 대하여 두 점 [eqn: rmA LEFT ( ita,`a+k RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itb,`b+k RIGHT )]가 곡선 [eqn: C : x^{2} - 2xy + 2y^{2} = 15] 위에 있다. 곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmA] 에서의 접선과 곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmB]에서의 접선이 서로 수직일 때, [eqn: k^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a+2k neq 0], [eqn: b+2k neq 0])

[eqn: 5]

점 [eqn: (t, t+k)]가 곡선 [eqn: x^{2} - 2xy + 2y^{2} = 15] 위에 있으므로

[eqn: t^{2} - 2t(t+k) + 2(t+k)^{2} = 15]에서

[eqn: t^{2} + 2kt + 2k^{2} - 15 = 0]

이 이차방정식의 두 근이 [eqn: a], [eqn: b]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: a+b = -2k], [eqn: ab = 2k^{2} - 15] ……①

곡선 [eqn: x^{2} - 2xy + 2y^{2} = 15]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x - 2 left ( y + x {dy} over {dx} right ) + 4y {dy} over {dx} = 0]

[eqn: (2y - x) {dy} over {dx} = y - x]

[eqn: 2y - x neq 0]일 때, [eqn: {dy} over {dx} = {y - x} over {2y - x}]

점 [eqn: rmA(ita,a+k)]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m_{1}]이라 하면

[eqn: m_{1} = {(a+k) - a} over {2(a+k) - a} = {k} over {a+2k}]

점 [eqn: rmB(itb,b+k)]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m_{2}]라 하면

[eqn: m_{2} = {(b+k) - b} over {2(b+k) - b} = {k} over {b+2k}]

두 접선이 서로 수직이므로 [eqn: m_{1} m_{2} = -1]에서

[eqn: {k} over {a+2k} times {k} over {b+2k} = -1]

[eqn: k^{2} = -(a+2k)(b+2k)]

[eqn: k^{2} = - left ( ab + 2k(a+b) + 4k^{2} right )]

①을 대입하면

[eqn: k^{2} = - left { 2k^{2} - 15 + 2k(-2k) + 4k^{2} right }]

[eqn: k^{2} = -2k^{2} + 15], [eqn: 3k^{2} = 15] ∴ [eqn: k^{2} = 5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 등비수열이고, 수열 [eqn: left { b_{n} right }]을 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: b _{n} = {cases{-1&``` LEFT ( a _{n} LEQ -1 RIGHT )#a _{n}&``` LEFT ( a _{n} >-1 RIGHT )}}]
이라 할 때, 수열 [eqn: left { b_{n} right }]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 급수 [eqn: sum_{n=1}^{infty} b_{2n-1}]은 수렴하고 그 합은 [eqn: -3]이다.

(나) 급수 [eqn: sum_{n=1}^{infty} b_{2n}]은 수렴하고 그 합은 [eqn: 8]이다.

[eqn: b_{3} = -1]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{infty} left | a_{n} right |]의 값을 구하시오.

[eqn: 24]

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하자.

조건 (가), (나)에서 급수가 수렴하므로 [eqn: lim from {n -> inf} b_{n} = 0]이고, 이에 따라 [eqn: lim from {n -> inf} a_{n} = 0]이므로 [eqn: -1 < r < 1]이다.

[eqn: b_{3} = -1]이므로 [eqn: a_{3} = ar^{2} leq -1]에서 [eqn: a < 0]이다.

조건 (나)에서 [eqn: sum from {n=1} to {inf} b_{2n} = 8 > 0]이고 [eqn: a < 0]이므로 [eqn: a_{2n} = ar^{2n-1} > 0]이어야 하므로 [eqn: r < 0]이다.

∴ [eqn: a < 0], [eqn: -1 < r < 0]

[eqn: a_{2n} > 0 > -1]이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: b_{2n} = a_{2n}]이다.

조건 (나)에서 [eqn: sum from {n=1} to {inf} b_{2n} = sum from {n=1} to {inf} a_{2n} = {ar} over {1-r^{2}} = 8] ……①

[eqn: a_{2n-1} = ar^{2n-2} < 0]이고 [eqn: 0 < r^{2} < 1]이므로 [eqn: a_{1} < a_{3} leq -1]에서 [eqn: b_{1} = -1], [eqn: b_{3} = -1]이다.

조건 (가)에서 [eqn: sum from {n=1} to {inf} b_{2n-1} = b_{1} + b_{3} + sum from {n=3} to {inf} b_{2n-1} = -3]이므로

[eqn: -2 + sum from {n=3} to {inf} b_{2n-1} = -3]에서 [eqn: sum from {n=3} to {inf} b_{2n-1} = -1]이다.

이때 [eqn: a_{5} leq -1]이면 [eqn: b_{5} = -1]이 되어 [eqn: sum from {n=3} to {inf} b_{2n-1} leq -1]이 되는데, [eqn: a_{n} neq 0]이므로 모순이다.

따라서 [eqn: n geq 3]일 때 [eqn: a_{2n-1} > -1]이므로 [eqn: b_{2n-1} = a_{2n-1}]이다.

[eqn: sum from {n=3} to {inf} b_{2n-1} = sum from {n=3} to {inf} a_{2n-1} = {ar^{4}} over {1-r^{2}} = -1] ……②

①, ②에서 [eqn: {ar^{4}} over {1-r^{2}} times {1-r^{2}} over {ar} = r^{3} = - {1} over {8}]

∴ [eqn: r = - {1} over {2}]

[eqn: r = - {1} over {2}]을 ①에 대입하면 [eqn: - {a} over {2} times {4} over {3} = 8]에서 [eqn: a = -12]

수열 [eqn: left { left | a_{n} right | right }]은 첫째항이 [eqn: left | -12 right | = 12]이고 공비가 [eqn: left | - {1} over {2} right | = {1} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: sum from {n=1} to {inf} left | a_{n} right | = {12} over {1 - {1} over {2}} = 24]

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.