수학ETF	2023년_고3_6월	기출문제
	1~22
	대수, 미적분

[eqn: root {3} of {27} TIMES 4 ^{- {1} over {2}}]의 값은?

⑤

[eqn: root {3} of {27} TIMES 4 ^{- {1} over {2}} = root {3} of {3 ^{3}} TIMES LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{- {1} over {2}}]

[eqn: = 3 times 2^{-1}]

[eqn: = 3 times {1} over {2} = {3} over {2}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 2x + 3]에 대하여 [eqn: lim_{h rightarrow 0} {f(3+h) - f(3)} over {h}]의 값은?

④

미분계수의 정의에 의해

[eqn: lim from {h -> 0} {f(3+h) - f(3)} over {h} = f'(3)]

함수 [eqn: f(x) = x^{2} - 2x + 3]에서

[eqn: f'(x) = 2x - 2]

따라서 [eqn: f'(3) = 2 times 3 - 2 = 4]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{10} (2a_{k} + 3) = 60]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k}]의 값은?

②

[eqn: sum from {k=1} to {10} (2a_{k} + 3) = 60]에서

[eqn: 2 sum from {k=1} to {10} a_{k} + sum from {k=1} to {10} 3 = 60]

[eqn: sum from {k=1} to {10} 3 = 30]이므로 [eqn: 2 sum from {k=1} to {10} a_{k} + 30 = 60]

∴ [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = 15]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: lim_{x rightarrow 1} f(x) = 4 - f(1)]
을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=1]에서도 연속이다.

즉, [eqn: lim from {x -> 1} f(x) = f(1)]

주어진 조건에서 [eqn: lim from {x -> 1} f(x) = 4 - f(1)]이므로

[eqn: f(1) = 4 - f(1)]에서 [eqn: 2f(1) = 4]

∴ [eqn: f(1) = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x) = (x^{3} + 1)f(x)]
라 하자. [eqn: f(1) = 2], [eqn: f'(1) = 3]일 때, [eqn: g'(1)]의 값은?

①

함수 [eqn: g(x) = (x^{3} + 1)f(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 곱의 미분법에 의해

[eqn: g'(x) = 3x^{2}f(x) + (x^{3} + 1)f'(x)]

[eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: g'(1) = 3f(1) + 2f'(1)]

주어진 조건에서 [eqn: f(1) = 2], [eqn: f'(1) = 3]이므로

[eqn: g'(1) = 3 times 2 + 2 times 3 = 12]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: cos theta < 0]이고 [eqn: rmsin(-theta) = {1} over {7} cos theta]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?

④

[eqn: sin(-theta) = -sin theta]이므로 주어진 식은

[eqn: -sin theta = {1} over {7} cos theta]

즉, [eqn: cos theta = -7 sin theta] ……①

조건에서 [eqn: cos theta < 0]이므로 ①에 의해 [eqn: -7 sin theta < 0]에서 [eqn: sin theta > 0]

삼각함수의 성질 [eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]에 ①을 대입하면

[eqn: sin^{2} theta + (-7 sin theta)^{2} = 1]에서 [eqn: 50 sin^{2} theta = 1]

[eqn: sin^{2} theta = {1} over {50}]

[eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: sin theta = {1} over {sqrt{50}} = {sqrt{2}} over {10}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: - {3 sqrt{2}} over {10}]	② [eqn: - {sqrt{2}} over {10}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt{2}} over {10}]	⑤ [eqn: {3 sqrt{2}} over {10}]

상수 [eqn: a][eqn: LEFT ( a>2 RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: y=log` _{2} `(x-a)]의 그래프의 점근선이 두 곡선 [eqn: y=log` _{2} ` {x} over {4}], [eqn: y=log` _{{1} over {2}} `x]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. [eqn: rmoverline{AB}=4]일 때, [eqn: a]의 값은?

③

함수 [eqn: y=log_{2}(x-a)]의 그래프의 점근선은 [eqn: x=a]이다.

점근선 [eqn: x=a]가 두 곡선 [eqn: y=log_{2}{x} over {4}], [eqn: y=log_{1 over 2}x]와 만나는 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 각각

[eqn: rm A LEFT ( ITa,log _{2} {a} over {4} RIGHT )], [eqn: rm B(ita,log _{{1} over {2}} a)]

이때 [eqn: log_{2}{a} over {4} = log_{2}a - 2]이고 [eqn: log_{1 over 2}a = -log_{2}a]이므로

[eqn: rmoverline{AB} = left | (log_{2}a - 2) - (-log_{2}a) right | = left | 2log_{2}a - 2 right |]

[eqn: a>2]에서 [eqn: log_{2}a > 1]이므로 [eqn: 2log_{2}a - 2 > 0]

[eqn: rmoverline{AB}=4]이므로 [eqn: 2log_{2}a - 2 = 4]

[eqn: 2log_{2}a = 6]에서 [eqn: log_{2}a = 3]

∴ [eqn: a = 2^{3} = 8]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

두 곡선 [eqn: y=2x^{2}-1], [eqn: y=x^{3}-x^{2}+k]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 양수 [eqn: k]의 값은?

③

두 곡선 [eqn: y=2x^{2}-1], [eqn: y=x^{3}-x^{2}+k]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]이려면

방정식 [eqn: 2x^{2}-1 = x^{3}-x^{2}+k], 즉 [eqn: k = -x^{3}+3x^{2}-1]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]이어야 한다.

[eqn: f(x) = -x^{3}+3x^{2}-1]이라 하면

[eqn: f'(x) = -3x^{2}+6x = -3x(x-2)]

[eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: f(0)=-1]을 갖고, [eqn: x=2]에서 극댓값 [eqn: f(2)=3]을 갖는다.

방정식 [eqn: f(x)=k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되려면 직선 [eqn: y=k]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 극대 또는 극소가 되는 점을 지나야 하므로

[eqn: k = -1] 또는 [eqn: k = 3]

이때 [eqn: k]는 양수이므로 [eqn: k=3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{n} {1} over {(2k-1)a_{k}} = n^{2} + 2n]
을 만족시킬 때, [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}]의 값은?

①

[eqn: S_{n} = sum from {k=1} to {n} {1} over {(2k-1)a_{k}} = n^{2} + 2n]이라 하면

[eqn: n=1]일 때, [eqn: {1} over {a_{1}} = S_{1} = 1^{2} + 2 times 1 = 3] ∴ [eqn: a_{1} = {1} over {3}]

[eqn: n geq 2]일 때, [eqn: {1} over {(2n-1)a_{n}} = S_{n} - S_{n-1}]

[eqn: = n^{2} + 2n - left { (n-1)^{2} + 2(n-1) right } = 2n + 1]

이 식에 [eqn: n=1]을 대입하면 [eqn: 2 times 1 + 1 = 3]으로 [eqn: n=1]일 때의 값과 일치하므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {1} over {(2n-1)a_{n}} = 2n + 1]

∴ [eqn: a_{n} = {1} over {(2n-1)(2n+1)}]

따라서 구하는 값은 [eqn: sum from {n=1} to {10} a_{n} = sum from {n=1} to {10} {1} over {(2n-1)(2n+1)}]

[eqn: = sum from {n=1} to {10} {1} over {2} left ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n+1} right )]

[eqn: = {1} over {2} left { left ( 1 - {1} over {3} right ) + left ( {1} over {3} - {1} over {5} right ) + cdots + left ( {1} over {19} - {1} over {21} right ) right }][eqn: = {1} over {2} left ( 1 - {1} over {21} right ) = {10} over {21}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {10} over {21}]	② [eqn: {4} over {7}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {16} over {21}]	⑤ [eqn: {6} over {7}]

양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f(x)=kx(x-2)(x-3)]
이다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 원점 [eqn: rmO]와 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] ([eqn: rmoverline{OP} < overline{OQ}])에서 만난다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 선분 [eqn: rmOP]로 둘러싸인 영역을 [eqn: A], 곡선 [eqn: y=f(x)]와 선분 [eqn: rmPQ]로 둘러싸인 영역을 [eqn: B]라 하자.
([eqn: A]의 넓이) - ([eqn: B]의 넓이) = [eqn: 3]
일 때, [eqn: k]의 값은?

②

[eqn: f(x) = kx(x-2)(x-3) = 0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: rmoverline{OP} < overline{OQ}]이므로 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

그래프에서 영역 [eqn: A]는 [eqn: x]축 위쪽에, 영역 [eqn: B]는 [eqn: x]축 아래쪽에 있으므로

([eqn: A]의 넓이) [eqn: = int from {0} to {2} f(x) dx], ([eqn: B]의 넓이) [eqn: = - int from {2} to {3} f(x) dx]

주어진 조건에서 ([eqn: A]의 넓이) - ([eqn: B]의 넓이) [eqn: = 3]이므로

[eqn: int from {0} to {2} f(x) dx - left ( - int from {2} to {3} f(x) dx right ) = 3]

[eqn: int from {0} to {2} f(x) dx + int from {2} to {3} f(x) dx = 3], [eqn: int from {0} to {3} f(x) dx = 3]

[eqn: f(x) = k(x^{3} - 5x^{2} + 6x)]이므로

[eqn: int from {0} to {3} k(x^{3} - 5x^{2} + 6x) dx = k left [ {1} over {4} x^{4} - {5} over {3} x^{3} + 3x^{2} right ]_{0}^{3}]

[eqn: = k left ( {81} over {4} - 45 + 27 right ) = {9} over {4} k]

즉, [eqn: {9} over {4} k = 3]에서 [eqn: k = {4} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

그림과 같이 실수 [eqn: t][eqn: LEFT ( 0<t<1 RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y = x^{2}] 위의 점 중에서 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과의 거리가 최소인 점을 [eqn: rmP]라 하고, 직선 [eqn: rmOP]가 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 1-} {} {{bar{rmPQ}}} over {1-t}] 의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

③

곡선 [eqn: y = x^{2}] 위의 점 중에서 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과의 거리가 최소인 점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: y = 2tx - 1]과 평행한 접선의 접점이다.

[eqn: y = x^{2}]에서 [eqn: y' = 2x]이므로 [eqn: 2x = 2t]에서 [eqn: x = t]

따라서 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: rm P(itt,t ^{2} )]이다.

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rm P(itt,t ^{2} )]를 지나는 직선 [eqn: rmOP]의 방정식은 [eqn: y = tx]이다.

직선 [eqn: rmOP]와 직선 [eqn: y = 2tx - 1]이 만나는 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: tx = 2tx - 1]에서 [eqn: tx = 1] ∴ [eqn: x = {1} over {t}]

따라서 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: rm Q LEFT ( it {1} over {t} ,1 RIGHT )]이다.

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리 [eqn: rmoverline{PQ}]는

[eqn: rm {bar{PQ}} =it sqrt {LEFT ( {1} over {t} -t RIGHT ) ^{2} +(1-t ^{2} ) ^{2}}][eqn: = sqrt {{(1-t ^{2} ) ^{2}} over {t ^{2}} +(1-t ^{2} ) ^{2}} = sqrt {{(1-t ^{2} ) ^{2} (1+t ^{2} )} over {t ^{2}}}]

[eqn: 0 < t < 1]에서 [eqn: 1 - t^{2} > 0]이므로 [eqn: {bar{rmPQ}} =it {1-t ^{2}} over {t} sqrt {1+t ^{2}}]

따라서 구하는 극한값은

[eqn: lim _{t -> 1-} {} {{bar{rmPQ}}} over {1-t} = lim _{t -> 1-} {} {{1-t ^{2}} over {t} sqrt {1+t ^{2}}} over {1-t}][eqn: = lim from {t -> 1-} {(1 - t)(1 + t) sqrt{1 + t^{2}}} over {t(1 - t)}]

[eqn: = lim from {t -> 1-} {(1 + t) sqrt{1 + t^{2}}} over {t}][eqn: = {(1 + 1) sqrt{1 + 1}} over {1} = 2 sqrt{2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: sqrt{6}]	② [eqn: sqrt{7}]	③ [eqn: 2 sqrt{2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: sqrt{10}]

[eqn: a_{2} = -4]이고 공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 수열 [eqn: left { b_{n} right }]을 [eqn: b _{n} =a _{n} +a _{n+1}][eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )][eqn: b_{n} = a_{n} + a_{n+1} left ( n geq 1 right )]이라 하고, 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]를
[eqn: A= LEFT { a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ,`a _{4} ,`a _{5} RIGHT }], [eqn: B= LEFT { b _{1} ,`b _{2} ,`b _{3} ,`b _{4} ,`b _{5} RIGHT }]
라 하자. [eqn: n left ( A cap B right ) = 3]이 되도록 하는 모든 수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{20}]의 값의 합은?

⑤

수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공차를 [eqn: d] ([eqn: d neq 0])라 하면

[eqn: a_{k} = -4 + (k-2)d] ([eqn: k=1, 2, 3, 4, 5])

수열 [eqn: left { b_{n} right }]의 원소 [eqn: b_{m}] ([eqn: m=1, 2, 3, 4, 5])은

[eqn: b _{m} =a _{m} +a _{m+1}][eqn: = LEFT { -4+(m-2)d RIGHT } + LEFT { -4+(m-1)d RIGHT } =-8+(2m-3)d]

[eqn: A cap B]의 원소를 찾기 위해 [eqn: b_{m} = a_{k}]라 하면

[eqn: -8 + (2m-3)d = -4 + (k-2)d]에서 [eqn: (k - 2m + 1)d = -4]

[eqn: d neq 0]이므로 [eqn: k = 2m - 1 - {4} over {d}]

[eqn: m=1, 2, 3, 4, 5]일 때 [eqn: k]의 값은 공차가 [eqn: 2]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: n left ( A cap B right ) = 3]이려면 [eqn: k]의 값 중 집합 [eqn: left { 1, 2, 3, 4, 5 right }]에 속하는 원소가 정확히 [eqn: 3]개여야 하므로, 그 [eqn: 3]개의 수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]뿐이다.

따라서 [eqn: m]의 연속된 세 값에 대응하는 [eqn: k]의 값이 각각 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]가 되어야 한다.

(ⅰ) [eqn: m=2, 3, 4]일 때 [eqn: k=1, 3, 5]인 경우

[eqn: m=2]일 때 [eqn: k=1]이므로 [eqn: 1 = 3 - {4} over {d}]에서 [eqn: d = 2]

(ⅱ) [eqn: m=3, 4, 5]일 때 [eqn: k=1, 3, 5]인 경우

[eqn: m=3]일 때 [eqn: k=1]이므로 [eqn: 1 = 5 - {4} over {d}]에서 [eqn: d = 1]

(참고로 [eqn: m=1, 2, 3]일 때 [eqn: k=1, 3, 5]인 경우는 [eqn: 1 = 1 - {4} over {d}]에서 모순이다.)

[eqn: a_{20} = a_{2} + 18d = -4 + 18d]이므로

[eqn: d=1]일 때 [eqn: a_{20} = 14]

[eqn: d=2]일 때 [eqn: a_{20} = 32]

따라서 모든 [eqn: a_{20}]의 값의 합은 [eqn: 14 + 32 = 46]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 46]

그림과 같이
[eqn: rmoverline{BC} = 3], [eqn: rmoverline{CD} = 2], [eqn: rmcos(angle BCD) = - {1} over {3}], [eqn: rmangle DAB > {pi} over {2}]
인 사각형 [eqn: rmABCD]에서 두 삼각형 [eqn: rmABC]와 [eqn: rmACD]는 모두 예각삼각형이다. 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점 [eqn: rmE]에 대하여 선분 [eqn: rmAE]를 지름으로 하는 원이 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAD]와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 각각 [eqn: rmP_{1}], [eqn: rmP_{2}]라 하고, 선분 [eqn: rmCE]를 지름으로 하는 원이 두 선분 [eqn: rmBC], [eqn: rmCD]와 만나는 점 중 [eqn: rmC]가 아닌 점을 각각 [eqn: rmQ_{1}], [eqn: rmQ_{2}]라 하자. [eqn: rmoverline{P{}_{{1}} P _{{2}}} : overline{Q_{1}Q_{2}} = 3 : 5 sqrt{2}] 이고 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이가 [eqn: 2]일 때, [eqn: rmoverline{AB} + overline{AD}]의 값은? (단, [eqn: rmoverline{AB} > overline{AD}])

①

삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{BD}^{2} = overline{BC}^{2} + overline{CD}^{2} - 2 cdot overline{BC} cdot overline{CD} cos(angle BCD)]

[eqn: = 3^{2} + 2^{2} - 2 cdot 3 cdot 2 cdot left ( - {1} over {3} right ) = 17]

∴ [eqn: rmoverline{BD} = sqrt{17}]

[eqn: rm sin ^{2} ( ANGLE BCD)+cos ^{2} ( ANGLE rmBCD)=1]이고 [eqn: rmangle BCD]는 삼각형의 내각이므로

[eqn: rmsin(angle BCD) = sqrt{1 - left ( - {1} over {3} right )^{2}} = {2 sqrt{2}} over {3}]

선분 [eqn: rmAE]를 지름으로 하는 원에서 삼각형 [eqn: rmAP{}_{{1}} P _{{2}}]가 내접하므로 사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{P{}_{{1}} P _{{2}}} = overline{AE} sin(angle DAB)]

선분 [eqn: rmCE]를 지름으로 하는 원에서 삼각형 [eqn: rmCQ_{1}Q_{2}]가 내접하므로 사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{Q_{1}Q_{2}} = overline{CE} sin(angle BCD) = overline{CE} cdot {2 sqrt{2}} over {3}]

점 [eqn: rmE]가 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:2]로 내분하므로 [eqn: rmoverline{CE} = 2 overline{AE}]

[eqn: rmoverline{P{}_{{1}} P _{{2}}} : overline{Q_{1}Q_{2}} = 3 : 5 sqrt{2}]에서

[eqn: rmoverline{AE} sin(angle DAB) : 2 overline{AE} cdot {2 sqrt{2}} over {3} = 3 : 5 sqrt{2}]

[eqn: rm5 sqrt{2} sin(angle DAB) = 4 sqrt{2}]

∴ [eqn: rmsin(angle DAB) = {4} over {5}]

[eqn: rmangle DAB > {pi} over {2}]이므로 [eqn: rmcos(angle DAB) < 0]

[eqn: rmcos(angle DAB) = - sqrt{1 - sin^{2}(angle DAB)} = - sqrt{1 - left ( {4} over {5} right )^{2}} = - {3} over {5}]

삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이가 [eqn: 2]이므로

[eqn: rm{1} over {2} overline{AB} cdot overline{AD} sin(angle DAB) = 2]에서 [eqn: rm{1} over {2} overline{AB} cdot overline{AD} cdot {4} over {5} = 2]

∴ [eqn: rmoverline{AB} cdot overline{AD} = 5]

삼각형 [eqn: rmABD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmoverline{BD}^{2} = overline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} - 2 overline{AB} cdot overline{AD} cos(angle DAB)]

[eqn: rm17 = overline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} - 2 cdot 5 cdot left ( - {3} over {5} right )]

[eqn: rmoverline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} = 11]

[eqn: rm(overline{AB} + overline{AD})^{2} = overline{AB}^{2} + overline{AD}^{2} + 2 overline{AB} cdot overline{AD} = 11 + 2 cdot 5 = 21]

[eqn: rmoverline{AB} + overline{AD} > 0]이므로 [eqn: rmoverline{AB} + overline{AD} = sqrt{21}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: sqrt{21}]	② [eqn: sqrt{22}]	③ [eqn: sqrt{23}]

④ [eqn: 2 sqrt{6}]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: a(a geq 0)]에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]를
[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =-t LEFT ( t-a RIGHT ) LEFT ( t-2a RIGHT )]
라 하자. 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=0]일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 [eqn: a]에 대하여, 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량의 최댓값은?

③

점 [eqn: rmP]가 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸려면 [eqn: t>0]에서 [eqn: v(t)]의 부호가 한 번만 바뀌어야 한다.

즉, [eqn: t>0]에서 [eqn: v(t)=0]의 실근 중 홀수 중복도를 갖는 근이 [eqn: 1]개뿐이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때

[eqn: v(t) = -t^{3}(t-1)]이므로 [eqn: t>0]에서 [eqn: t=1]일 때만 [eqn: v(t)]의 부호가 바뀐다.

(ⅱ) [eqn: a>0]일 때

[eqn: t>0]에서 [eqn: v(t)=0]의 근은 [eqn: t=1], [eqn: t=a], [eqn: t=2a]이다.

부호가 한 번만 바뀌려면 세 근 중 두 근이 중근이어야 하므로

[eqn: a=1] 또는 [eqn: 2a=1]

즉, [eqn: a=1] 또는 [eqn: a={1} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 0], [eqn: {1} over {2}], [eqn: 1]이다.

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량을 [eqn: S(a)]라 하면

[eqn: S(a) = int from {0} to {2} v(t) dt]

[eqn: = int from {0} to {2} left { -t(t-1)(t-a)(t-2a) right } dt]

[eqn: = int from {0} to {2} left { -t^{4} + (3a+1)t^{3} - (2a^{2}+3a)t^{2} + 2a^{2}t right } dt]

[eqn: = left [ - {1} over {5} t^{5} + {3a+1} over {4} t^{4} - {2a^{2}+3a} over {3} t^{3} + a^{2}t^{2} right ] _{0} ^{2}]

[eqn: = - {32} over {5} + 4(3a+1) - {8} over {3} (2a^{2}+3a) + 4a^{2}]

[eqn: = - {4} over {3} a^{2} + 4a - {12} over {5}]

[eqn: a=0]일 때, [eqn: S(0) = - {12} over {5}]

[eqn: a={1} over {2}]일 때, [eqn: S left ( {1} over {2} right ) = - {1} over {3} + 2 - {12} over {5} = - {11} over {15}]

[eqn: a=1]일 때, [eqn: S(1) = - {4} over {3} + 4 - {12} over {5} = {4} over {15}]

따라서 위치의 변화량의 최댓값은 [eqn: {4} over {15}]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {7} over {30}]	③ [eqn: {4} over {15}]

④ [eqn: {3} over {10}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

자연수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 있다.

[eqn: a_{1} = k]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = LEFT { {matrix{a _{n} +2n-k&```` LEFT ( a _{n} LEQ 0 RIGHT )#a _{n} -2n-k&``` LEFT ( a _{n} >0 RIGHT )}} RIGHT .]

이다.

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} < 0]이 되도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

②

[eqn: k]는 자연수이므로 [eqn: a_{1} = k > 0]에서

[eqn: a_{2} = a_{1} - 2 times 1 - k = k - 2 - k = -2]

[eqn: a_{2} = -2 leq 0]에서

[eqn: a_{3} = a_{2} + 2 times 2 - k = -2 + 4 - k = 2 - k]

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때

[eqn: a_{3} = 1 > 0]에서 [eqn: a_{4} = 1 - 2 times 3 - 1 = -6]

[eqn: a_{4} leq 0]에서 [eqn: a_{5} = -6 + 2 times 4 - 1 = 1]

[eqn: a_{5} > 0]에서 [eqn: a_{6} = 1 - 2 times 5 - 1 = -10]

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = 1 times (-6) times 1 times (-10) = 60 > 0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때

[eqn: a_{3} = 0]이므로 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = 0]이 되어 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅲ) [eqn: k geq 3]일 때

[eqn: a_{3} = 2 - k < 0]에서 [eqn: a_{4} = a_{3} + 2 times 3 - k = (2 - k) + 6 - k = 8 - 2k]

① [eqn: k=3]일 때

[eqn: a_{3} = -1], [eqn: a_{4} = 2 > 0]에서 [eqn: a_{5} = 2 - 2 times 4 - 3 = -9]

[eqn: a_{5} leq 0]에서 [eqn: a_{6} = -9 + 2 times 5 - 3 = -2]

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = (-1) times 2 times (-9) times (-2) = -36 < 0]이므로 조건을 만족시킨다.

② [eqn: k=4]일 때

[eqn: a_{4} = 0]이므로 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = 0]이 되어 조건을 만족시키지 않는다.

③ [eqn: k geq 5]일 때

[eqn: a_{4} = 8 - 2k < 0]에서 [eqn: a_{5} = a_{4} + 2 times 4 - k = (8 - 2k) + 8 - k = 16 - 3k]

[eqn: k=5]일 때 [eqn: a_{3} = -3], [eqn: a_{4} = -2], [eqn: a_{5} = 1 > 0]에서 [eqn: a_{6} = 1 - 2 times 5 - 5 = -14]

[eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} = (-3) times (-2) times 1 times (-14) = -84 < 0]이므로 조건을 만족시킨다.

[eqn: k geq 6]일 때 [eqn: a_{5} = 16 - 3k < 0]에서 [eqn: a_{6} = a_{5} + 2 times 5 - k = (16 - 3k) + 10 - k = 26 - 4k]

[eqn: k=6]일 때 [eqn: a_{3} = -4], [eqn: a_{4} = -4], [eqn: a_{5} = -2], [eqn: a_{6} = 2]이므로 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} < 0]이 되어 조건을 만족시킨다.

[eqn: k geq 7]일 때 [eqn: a_{6} = 26 - 4k < 0]이므로 [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}], [eqn: a_{5}], [eqn: a_{6}]이 모두 음수이다.

따라서 [eqn: a_{3} times a_{4} times a_{5} times a_{6} > 0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 6]이므로 그 합은 [eqn: 3 + 5 + 6 = 14]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 26]

부등식 [eqn: 2 ^{x-6} LEQ LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x}]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 3]

부등식 [eqn: 2^{x-6} leq left ( {1} over {4} right )^{x}]에서

[eqn: left ( {1} over {4} right )^{x} = (2^{-2})^{x} = 2^{-2x}]이므로

[eqn: 2^{x-6} leq 2^{-2x}]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: x - 6 leq -2x]

[eqn: 3x leq 6]

[eqn: x leq 2]

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 1], [eqn: 2]이므로 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 1 + 2 = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x) = 8x^{3} - 1]이고 [eqn: f(0) = 3]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 33]

[eqn: f'(x) = 8x^{3} - 1]이므로 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: f(x) = int (8x^{3} - 1) dx = 2x^{4} - x + C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0) = 3]이므로 [eqn: C = 3]

즉, [eqn: f(x) = 2x^{4} - x + 3]

[eqn: x = 2]를 대입하면 [eqn: f(2) = 2 times 2^{4} - 2 + 3 = 33]

따라서 정답은 [eqn: 33]이다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x)=ax^{3}+bx+a]는 [eqn: x=1]에서 극소이다. 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: -2]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하시오.

[eqn: 6]

함수 [eqn: f(x) = ax^{3} + bx + a]를 미분하면

[eqn: f'(x) = 3ax^{2} + b]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극소이므로 [eqn: f'(1) = 0]에서

[eqn: 3a + b = 0] ∴ [eqn: b = -3a] ……①

또한 [eqn: x=1]에서의 극솟값이 [eqn: -2]이므로 [eqn: f(1) = -2]에서

[eqn: 2a + b = -2] ……②

①, ②를 연립하여 풀면

[eqn: 2a - 3a = -2]에서 [eqn: a = 2], [eqn: b = -6]

따라서 [eqn: f(x) = 2x^{3} - 6x + 2]이고

[eqn: f'(x) = 6x^{2} - 6 = 6(x+1)(x-1)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = -1] 또는 [eqn: x = 1]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = -1]에서 극대이므로 구하는 극댓값은

[eqn: f(-1) = -2 + 6 + 2 = 6]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수
[eqn: f(x) = a sin bx + 8 - a]
가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq 0]이다.

(나) [eqn: 0 leq x < 2 pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x) = 0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

[eqn: 8]

조건 (가)에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq 0]이고 [eqn: a]는 자연수이므로

함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -a + 8 - a = 8 - 2a]이다.

[eqn: 8 - 2a geq 0]에서 [eqn: a leq 4]

[eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중 하나이다.

방정식 [eqn: f(x) = 0]에서 [eqn: a sin bx + 8 - a = 0]

즉, [eqn: sin bx = {a - 8} over {a}]

[eqn: -1 leq sin bx leq 1]이므로 [eqn: -1 leq {a - 8} over {a} leq 1]

이를 만족하는 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 4]뿐이므로 [eqn: a = 4]

[eqn: a = 4]를 대입하면 [eqn: sin bx = -1]

[eqn: 0 leq x < 2 pi]에서 [eqn: 0 leq bx < 2b pi]이고 [eqn: b]는 자연수이다.

함수 [eqn: y = sin bx]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {b}]이므로 [eqn: 0 leq x < 2 pi] 구간에서 그래프는 [eqn: b]개의 주기가 반복된다.

한 주기에서 [eqn: sin bx = -1]을 만족하는 실근은 [eqn: 1]개 존재하므로

[eqn: 0 leq x < 2 pi]에서 방정식 [eqn: sin bx = -1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: b]이다.

조건 (나)에서 실근의 개수가 [eqn: 4]이므로 [eqn: b = 4]

따라서 [eqn: a+b = 4+4 = 8]

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수
[eqn: g(x) = int_{0}^{x} f(t) dt]
가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(9)]의 값을 구하시오.

[eqn: x geq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x) geq g(4)]이고 [eqn: left | g(x) right | geq left | g(3) right |]이다.

[eqn: 39]

[eqn: g(x) = int_{0}^{x} f(t) dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x) = f(x)]이고 [eqn: g(0) = 0]

[eqn: x geq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) geq g(4)]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=4]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: x=4]는 구간 [eqn: x geq 1]의 내부에 있고 [eqn: g(x)]는 미분가능한 함수이므로 [eqn: g'(4) = 0]

[eqn: g'(4) = f(4) = 0]

이차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: f(x) = (x-4)(x- alpha)]라 하면

[eqn: g(x) = int_{0}^{x} (t-4)(t- alpha) dt]

[eqn: x geq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: left | g(x) right | geq left | g(3) right |]이다.

만약 [eqn: g(4) > 0]이면 [eqn: x geq 1]에서 [eqn: g(x) geq g(4) > 0]이므로 [eqn: left | g(x) right | = g(x)]이다.

이때 [eqn: left | g(x) right |]의 최솟값은 [eqn: g(4)]가 되어 [eqn: g(3) leq g(4)]를 만족시켜야 하지만, 이는 [eqn: x=4]에서 최솟값을 갖는다는 사실에 모순이다.

따라서 [eqn: g(4) leq 0]이어야 하고, [eqn: lim from {x -> inf} g(x) = inf]이므로 [eqn: x geq 1]인 구간에서 [eqn: g(x) = 0]인 [eqn: x]가 존재한다.

즉, [eqn: x geq 1]에서 [eqn: left | g(x) right |]의 최솟값은 [eqn: 0]이므로 [eqn: g(3) = 0]

[eqn: g(3) = int_{0}^{3} (t-4)(t- alpha) dt = int_{0}^{3} left ( t^{2} - ( alpha + 4)t + 4 alpha right ) dt = 0]에서

[eqn: left [ {1} over {3} t^{3} - {alpha + 4} over {2} t^{2} + 4 alpha t right ]_{0}^{3} = 9 - {9} over {2} ( alpha + 4) + 12 alpha = 0]

[eqn: 9 - {9} over {2} alpha - 18 + 12 alpha = 0]

[eqn: {15} over {2} alpha = 9] ∴ [eqn: alpha = {6} over {5}]

따라서 [eqn: f(x) = (x-4) left ( x - {6} over {5} right )]이므로

[eqn: f(9) = 5 times left ( 9 - {6} over {5} right ) = 39]

따라서 정답은 [eqn: 39]이다.

실수 [eqn: t]에 대하여 두 곡선 [eqn: y = t - log_{2}x]와 [eqn: y = 2^{x-t}]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f(t)]라 하자.
<보기>의 각 명제에 대하여 다음 규칙에 따라 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 값을 정할 때, [eqn: A+B+C]의 값을 구하시오. (단, [eqn: A+B+C neq 0])

명제 ㄱ이 참이면 [eqn: A=100], 거짓이면 [eqn: A=0]이다.

명제 ㄴ이 참이면 [eqn: B=10], 거짓이면 [eqn: B=0]이다.

명제 ㄷ이 참이면 [eqn: C=1], 거짓이면 [eqn: C=0]이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(1)=1]이고 [eqn: f(2)=2]이다. ㄴ. 실수 [eqn: t]의 값이 증가하면 [eqn: f(t)]의 값도 증가한다. ㄷ. 모든 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(t) geq t]이다.

[eqn: 110]

방정식 [eqn: 2^{x-t} = t - log_{2}x]에서 [eqn: 2^{x-t} + log_{2}x - t = 0]이다.

함수 [eqn: h_{t}(x) = 2^{x-t} + log_{2}x - t]라 하면 [eqn: x]가 증가할 때 [eqn: 2^{x-t}]과 [eqn: log_{2}x]가 모두 증가하므로 [eqn: h_{t}(x)]는 증가함수이다.

[eqn: x=f(t)]가 이 방정식의 근이므로 [eqn: h_{t}(f(t)) = 0]이다.

ㄱ. [eqn: t=1]일 때 [eqn: h_{1}(x) = 2^{x-1} + log_{2}x - 1]에서 [eqn: h_{1}(1) = 2^{0} + log_{2}1 - 1 = 0]이므로 [eqn: f(1)=1]

[eqn: t=2]일 때 [eqn: h_{2}(x) = 2^{x-2} + log_{2}x - 2]에서 [eqn: h_{2}(2) = 2^{0} + log_{2}2 - 2 = 0]이므로 [eqn: f(2)=2]

따라서 참이다. ([eqn: A=100])

ㄴ. [eqn: t_{1} < t_{2}]인 두 실수 [eqn: t_{1}], [eqn: t_{2}]에 대하여

[eqn: h_{t_{2}}(x) - h_{t_{1}}(x) = 2^{x-t_{2}} - 2^{x-t_{1}} - (t_{2} - t_{1})]

[eqn: t_{1} < t_{2}]에서 [eqn: x-t_{2} < x-t_{1}]이므로 [eqn: 2^{x-t_{2}} < 2^{x-t_{1}}]이고 [eqn: t_{2} - t_{1} > 0]이므로

[eqn: h_{t_{2}}(x) - h_{t_{1}}(x) < 0] 즉, [eqn: h_{t_{2}}(x) < h_{t_{1}}(x)]이다.

[eqn: x=f(t_{1})]을 대입하면 [eqn: h_{t_{2}}(f(t_{1})) < h_{t_{1}}(f(t_{1})) = 0]

[eqn: h_{t_{2}}(x)]는 증가함수이고 [eqn: h_{t_{2}}(f(t_{2})) = 0]이므로

[eqn: h_{t_{2}}(f(t_{1})) < h_{t_{2}}(f(t_{2}))]에서 [eqn: f(t_{1}) < f(t_{2})]이다.

따라서 실수 [eqn: t]의 값이 증가하면 [eqn: f(t)]의 값도 증가하므로 참이다. ([eqn: B=10])

ㄷ. [eqn: h_{t}(x)]가 증가함수이므로 [eqn: f(t) geq t]가 성립하려면 [eqn: h_{t}(f(t)) geq h_{t}(t)], 즉 [eqn: 0 geq h_{t}(t)]이어야 한다.

[eqn: h_{t}(t) = 2^{0} + log_{2}t - t = 1 + log_{2}t - t]이므로

[eqn: 1 + log_{2}t - t leq 0]에서 [eqn: log_{2}t leq t - 1]이 모든 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 성립해야 한다.

[eqn: y = log_{2}t]의 그래프와 직선 [eqn: y = t - 1]은 [eqn: t=1], [eqn: t=2]에서 만나고, [eqn: y = log_{2}t]의 그래프는 위로 볼록하므로 [eqn: 1 < t < 2]인 구간에서 [eqn: log_{2}t > t - 1]이다.

즉, [eqn: 1 < t < 2]일 때 [eqn: h_{t}(t) > 0]이 되어 [eqn: f(t) < t]이다.

따라서 거짓이다. ([eqn: C=0])

ㄱ, ㄴ, ㄷ에서 [eqn: A=100], [eqn: B=10], [eqn: C=0]이므로

[eqn: A+B+C = 100+10+0 = 110]

따라서 정답은 [eqn: 110]이다.

정수 [eqn: a(a neq 0)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f(x) = x^{3} - 2ax^{2}]
이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 곱이 [eqn: -12]가 되도록 하는 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f'(10)]의 값을 구하시오.

함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: left { {f(x_{1}) - f(x_{2})} over {x_{1} - x_{2}} right } times left { {f(x_{2}) - f(x_{3})} over {x_{2} - x_{3}} right } < 0]

을 만족시키는 세 실수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]이 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]에

존재한다.

[eqn: 380]

주어진 조건은 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소가 바뀜을 의미한다.

즉, 이 구간 내에 [eqn: f'(x) = 0]을 만족하며 좌우에서 [eqn: f'(x)]의 부호가 바뀌는 [eqn: x]가 존재해야 한다.

[eqn: f(x) = x^{3} - 2ax^{2}]에서

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 4ax = x(3x - 4a)]

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = {4a} over {3}]이고, [eqn: a neq 0]이므로 이 두 점에서 [eqn: f'(x)]의 부호가 바뀐다.

(ⅰ) [eqn: x = 0]이 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]에 속할 때

[eqn: k < 0 < k + {3} over {2}]에서 [eqn: - {3} over {2} < k < 0]

[eqn: k]는 정수이므로 [eqn: k = -1]

(ⅱ) 조건을 만족시키는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 곱이 [eqn: -12]이므로 [eqn: x = {4a} over {3}]가 속하는 열린구간 [eqn: left ( k, k + {3} over {2} right )]를 만족시키는 정수 [eqn: k]의 값의 곱은 [eqn: 12]이어야 한다.

구간의 길이가 [eqn: {3} over {2}]이므로 조건을 만족시키는 정수 [eqn: k]는 연속된 두 정수이거나 하나의 정수이다.

곱이 [eqn: 12]가 되는 연속된 두 정수는 [eqn: 3], [eqn: 4] 또는 [eqn: -4], [eqn: -3]이다.

① [eqn: k = 3], [eqn: 4]일 때

[eqn: k = 3]이면 [eqn: 3 < {4a} over {3} < {9} over {2}]에서 [eqn: {9} over {4} < a < {27} over {8}]

[eqn: k = 4]이면 [eqn: 4 < {4a} over {3} < {11} over {2}]에서 [eqn: 3 < a < {33} over {8}]

이를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

② [eqn: k = -4], [eqn: -3]일 때

[eqn: k = -4]이면 [eqn: -4 < {4a} over {3} < - {5} over {2}]에서 [eqn: -3 < a < - {15} over {8}]

[eqn: k = -3]이면 [eqn: -3 < {4a} over {3} < - {3} over {2}]에서 [eqn: - {9} over {4} < a < - {9} over {8}]

이를 동시에 만족시키는 정수 [eqn: a]는 [eqn: -2]이다.

따라서 [eqn: a = -2]이므로 [eqn: f'(x) = 3x^{2} + 8x]

[eqn: x = 10]을 대입하면 [eqn: f'(10) = 300 + 80 = 380]

따라서 정답은 [eqn: 380]이다.

[eqn: 5]개의 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는?

③

[eqn: 5]개의 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 중에서 [eqn: a]가 [eqn: 2]개 있으므로

구하는 경우의 수는

[eqn: {5!} over {2!} = {120} over {2} = 60]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 50]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 70]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: P(A SMALLINTER B ^{C} `)= {1} over {9}], [eqn: P(B ^{C} `)= {7} over {18}]
일 때, [eqn: P(A cup B)]의 값은? (단, [eqn: B^{C}]은 [eqn: B]의 여사건이다.)

④

여사건의 확률의 성질에 의하여

[eqn: P(B) = 1 - P(B^{C}) = 1 - {7} over {18} = {11} over {18}]

두 사건 [eqn: A cap B^{C}]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이고, [eqn: (A cap B^{C}) cup B = A cup B]이므로 확률의 덧셈정리에 의하여

[eqn: P(A cup B) = P(A cap B^{C}) + P(B)]

[eqn: = {1} over {9} + {11} over {18} = {13} over {18}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {5} over {9}]	② [eqn: {11} over {18}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {13} over {18}]	⑤ [eqn: {7} over {9}]

흰색 손수건 [eqn: 4]장, 검은색 손수건 [eqn: 5]장이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 [eqn: 4]장의 손수건을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 [eqn: 4]장의 손수건 중에서 흰색 손수건이 [eqn: 2]장 이상일 확률은?

③

전체 [eqn: 9]장의 손수건 중에서 임의로 [eqn: 4]장을 꺼내는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{9}} C _{{4}} = 126]

꺼낸 [eqn: 4]장의 손수건 중에서 흰색 손수건이 [eqn: 2]장 이상인 사건의 여사건은 흰색 손수건이 [eqn: 0]장 또는 [eqn: 1]장인 사건이다.

(ⅰ) 흰색 손수건이 [eqn: 0]장인 경우

검은색 손수건 [eqn: 5]장 중에서 [eqn: 4]장을 꺼내는 경우의 수와 같으므로 [eqn: rm{}{}_{{5}} C _{{4}} = 5]

(ⅱ) 흰색 손수건이 [eqn: 1]장인 경우

흰색 손수건 [eqn: 4]장 중에서 [eqn: 1]장을 꺼내고, 검은색 손수건 [eqn: 5]장 중에서 [eqn: 3]장을 꺼내는 경우의 수와 같으므로 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{1}} times {}{}_{{5}} C _{{3}} = 4 times 10 = 40]

(ⅰ), (ⅱ)에서 여사건의 경우의 수는 [eqn: 5 + 40 = 45]이므로 여사건의 확률은 [eqn: {45} over {126} = {5} over {14}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 1 - {5} over {14} = {9} over {14}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {4} over {7}]	③ [eqn: {9} over {14}]

④ [eqn: {5} over {7}]	⑤ [eqn: {11} over {14}]

다항식 [eqn: (x-1)^{6}(2x+1)^{7}]의 전개식에서 [eqn: x^{2}]의 계수는?

①

다항식 [eqn: (x-1)^{6}]과 [eqn: (2x+1)^{7}]의 전개식의 일반항은 각각

[eqn: {} _{6} rm C _{itr} itx ^{r} (-1) ^{6-r}] (단, [eqn: r]는 [eqn: 0 leq r leq 6]인 정수),

[eqn: {} _{7} rm C _{it s rm} it(2x) ^{s} 1 ^{7-s} = _{7} rmC _{its} it2 ^{s} x ^{s}] (단, [eqn: s]는 [eqn: 0 leq s leq 7]인 정수)이다.

두 다항식의 곱 [eqn: (x-1)^{6}(2x+1)^{7}]의 전개식에서 [eqn: x^{2}] 항은 [eqn: r+s=2]일 때 나타나므로

가능한 순서쌍 [eqn: (r, s)]는 [eqn: (0, 2)], [eqn: (1, 1)], [eqn: (2, 0)]이다.

(ⅰ) [eqn: r=0], [eqn: s=2]일 때

[eqn: rm{}{}_{{6}} C _{{0}} (-1)^{6} times {}{}_{{7}} C _{{2}} 2^{2} = 1 times 21 times 4 = 84]

(ⅱ) [eqn: r=1], [eqn: s=1]일 때

[eqn: rm{}{}_{{6}} C _{{1}} (-1)^{5} times {}{}_{{7}} C _{{1}} 2^{1} = -6 times 7 times 2 = -84]

(ⅲ) [eqn: r=2], [eqn: s=0]일 때

[eqn: rm{}{}_{{6}} C _{{2}} (-1)^{4} times {}{}_{{7}} C _{{0}} 2^{0} = 15 times 1 times 1 = 15]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: x^{2}]의 계수는

[eqn: 84 + (-84) + 15 = 15]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 35]

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. [eqn: a times b]가 [eqn: 4]의 배수일 때, [eqn: a+b leq 7]일 확률은?

②

한 개의 주사위를 두 번 던져 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, [eqn: a times b]가 [eqn: 4]의 배수인 사건을 [eqn: A], [eqn: a+b leq 7]인 사건을 [eqn: B]라 하자.

[eqn: a times b]가 [eqn: 4]의 배수가 되는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a] 또는 [eqn: b]가 [eqn: 4]인 경우

[eqn: a=4]일 때 [eqn: b=1, 2, 3, 4, 5, 6]의 [eqn: 6]가지

[eqn: b=4]일 때 [eqn: a=1, 2, 3, 5, 6]의 [eqn: 5]가지

(ⅱ) [eqn: a], [eqn: b]가 모두 [eqn: 4]가 아닌 짝수인 경우

[eqn: a], [eqn: b]는 각각 [eqn: 2] 또는 [eqn: 6]이므로 순서쌍 [eqn: (a, b)]는

[eqn: (2, 2)], [eqn: (2, 6)], [eqn: (6, 2)], [eqn: (6, 6)]의 [eqn: 4]가지

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n(A) = 6+5+4=15]

사건 [eqn: A]가 일어나는 경우 중 [eqn: a+b leq 7]을 만족하는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a] 또는 [eqn: b]가 [eqn: 4]인 경우

[eqn: a=4]일 때 [eqn: b=1, 2, 3]의 [eqn: 3]가지

[eqn: b=4]일 때 [eqn: a=1, 2, 3]의 [eqn: 3]가지

(ⅱ) [eqn: a], [eqn: b]가 모두 [eqn: 4]가 아닌 짝수인 경우

순서쌍 [eqn: (a, b)]는 [eqn: (2, 2)]의 [eqn: 1]가지

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n(A cap B) = 3+3+1=7]

구하는 확률은

[eqn: P(B|A) = {n(A cap B)} over {n(A)} = {7} over {15}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {7} over {15}]	③ [eqn: {8} over {15}]

④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X`` -> ``X]의 개수는?

(가) [eqn: f(1) times f(3) times f(5)]는 홀수이다.

(나) [eqn: f(2) < f(4)]

(다) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 3]이다.

⑤

조건 (가)에서 [eqn: f(1) times f(3) times f(5)]가 홀수이므로 [eqn: f(1)], [eqn: f(3)], [eqn: f(5)]는 모두 홀수이다.

즉, [eqn: f(1)], [eqn: f(3)], [eqn: f(5) in left { 1, 3, 5 right }]이다.

집합 [eqn: A = left { f(1), f(3), f(5) right }]라 할 때, 조건 (다)에 의해 [eqn: A]의 원소의 개수 [eqn: left | A right |]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중 하나이다.

(ⅰ) [eqn: left | A right | = 3]인 경우

[eqn: A = left { 1, 3, 5 right }]이므로 [eqn: f(1)], [eqn: f(3)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3! = 6]이다.

함수 [eqn: f]의 치역이 [eqn: left { 1, 3, 5 right }]이므로 [eqn: f(2)], [eqn: f(4)]는 [eqn: left { 1, 3, 5 right }]의 원소 중 서로 다른 [eqn: 2]개를 선택하면 조건 (나)에 의해 그 값이 유일하게 결정된다.

[eqn: f(2)], [eqn: f(4)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: rmrm{}{}_{{3}} C _{{2}} = 3]이다.

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 6 times 3 = 18]이다.

(ⅱ) [eqn: left | A right | = 2]인 경우

[eqn: left { 1, 3, 5 right }]에서 [eqn: 2]개의 원소를 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{3}} C _{{2}} = 3]이다.

선택된 [eqn: 2]개의 원소로 [eqn: f(1)], [eqn: f(3)], [eqn: f(5)]가 대응되는 전사함수의 개수는 [eqn: 2^{3} - 2 = 6]이다.

치역의 원소가 [eqn: 3]개가 되려면 집합 [eqn: X]의 남은 [eqn: 3]개의 원소 중 [eqn: 1]개를 추가로 선택해야 하므로 그 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{3}} C _{{1}} = 3]이다.

[eqn: f(2)], [eqn: f(4)]는 추가된 [eqn: 1]개의 원소를 반드시 포함하여 치역의 원소 중 [eqn: 2]개를 선택해야 하므로 그 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{2}} C _{{1}} = 2]이다.

선택된 [eqn: 2]개의 원소는 조건 (나)에 의해 [eqn: f(2)], [eqn: f(4)]의 값으로 유일하게 결정된다.

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 3 times 6 times 3 times 2 = 108]이다.

(ⅲ) [eqn: left | A right | = 1]인 경우

[eqn: left { 1, 3, 5 right }]에서 [eqn: 1]개의 원소를 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{3}} C _{{1}} = 3]이다.

[eqn: f(1)], [eqn: f(3)], [eqn: f(5)]가 모두 이 원소로 대응되는 경우의 수는 [eqn: 1]이다.

치역의 원소가 [eqn: 3]개가 되려면 집합 [eqn: X]의 남은 [eqn: 4]개의 원소 중 [eqn: 2]개를 추가로 선택해야 하므로 그 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{2}} = 6]이다.

[eqn: f(2)], [eqn: f(4)]는 추가된 [eqn: 2]개의 원소에 각각 대응되어야 하고, 조건 (나)에 의해 그 값이 유일하게 결정되므로 경우의 수는 [eqn: 1]이다.

따라서 이 경우의 수는 [eqn: 3 times 1 times 6 times 1 = 18]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 18 + 108 + 18 = 144]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 128]	② [eqn: 132]	③ [eqn: 136]

④ [eqn: 140]	⑤ [eqn: 144]

그림과 같이 [eqn: 2]장의 검은색 카드와 [eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 8]장의 흰색 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 일렬로 배열할 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 검은색 카드는 서로 구별하지 않는다.)

(가) 흰색 카드에 적힌 수가 작은 수부터 크기순으로 왼쪽에서 오른쪽으로 배열되도록 카드가 놓여 있다.

(나) 검은색 카드 사이에는 흰색 카드가 [eqn: 2]장 이상 놓여 있다.

(다) 검은색 카드 사이에는 [eqn: 3]의 배수가 적힌 흰색 카드가 [eqn: 1]장 이상 놓여 있다.

[eqn: 25]

조건 (가)에 의해 [eqn: 8]장의 흰색 카드는 [eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지 오름차순으로 고정되어 있다.

검은색 카드 [eqn: 2]장이 들어갈 수 있는 자리를 흰색 카드의 양 끝과 사이사이를 포함하여 왼쪽부터 차례대로 [eqn: 0, 1, 2, cdots, 8]이라 하고, 선택된 두 위치를 [eqn: x, y] ([eqn: 0 leq x leq y leq 8])라 하자.

조건 (나)에서 두 검은색 카드 사이에 흰색 카드가 [eqn: 2]장 이상 놓여 있어야 하므로 [eqn: y - x geq 2]를 만족해야 한다.

이를 만족하는 순서쌍 [eqn: (x, y)]의 개수는

[eqn: x=0]일 때 [eqn: y=2, 3, cdots, 8] ([eqn: 7]개)

[eqn: x=1]일 때 [eqn: y=3, 4, cdots, 8] ([eqn: 6]개)

[eqn: vdots]

[eqn: x=6]일 때 [eqn: y=8] ([eqn: 1]개)

이므로 조건 (나)를 만족하는 전체 경우의 수는 [eqn: 7+6+ cdots +1 = 28]이다.

조건 (다)의 여사건은 두 검은색 카드 사이에 있는 흰색 카드 중 [eqn: 3]의 배수가 하나도 없는 경우이다.

[eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 자연수 중 [eqn: 3]의 배수는 [eqn: 3, 6]이므로, 두 검은색 카드 사이의 구간에 해당하는 흰색 카드 번호 [eqn: x+1]부터 [eqn: y]까지의 수 중 [eqn: 3]과 [eqn: 6]이 모두 포함되지 않아야 한다.

여사건을 만족하면서 [eqn: y - x geq 2]인 순서쌍 [eqn: (x, y)]를 각 구간별로 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 3]보다 작은 구간 ([eqn: y leq 2])

[eqn: x=0, y=2]이므로 [eqn: 1]개

(ⅱ) [eqn: 3]과 [eqn: 6] 사이의 구간 ([eqn: 3 leq x < y leq 5])

[eqn: x=3, y=5]이므로 [eqn: 1]개

(ⅲ) [eqn: 6]보다 큰 구간 ([eqn: x geq 6])

[eqn: x=6, y=8]이므로 [eqn: 1]개

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 여사건의 경우의 수는 [eqn: 1+1+1=3]이다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 28 - 3 = 25]이다.

따라서 정답은 [eqn: 25]이다.

주머니에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]가 하나씩 적혀 있는 흰 공 [eqn: 4]개와 숫자 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이 하나씩 적혀 있는 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있다. 이 주머니를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내어

꺼낸 공이 서로 다른 색이면 [eqn: 12]를 점수로 얻고,

꺼낸 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 두 공에 적힌 수의 곱을

점수로 얻는다.

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 24] 이하의 짝수일 확률이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 51]

주머니에 들어 있는 [eqn: 8]개의 공 중에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼내는 전체 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{8}} C _{{2}} = 28]

꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 서로 다른 색인 경우, 점수는 [eqn: 12]이므로 항상 [eqn: 24] 이하의 짝수이다.

이때의 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{1}} times {}{}_{{4}} C _{{1}} = 16]

꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 서로 같은 색인 경우, 두 공에 적힌 수의 곱이 [eqn: 24] 이하의 짝수이어야 한다.

(ⅰ) 꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 모두 흰 공인 경우

흰 공 [eqn: 4]개 중에서 [eqn: 2]개를 꺼내는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{2}} = 6]이다.

이 중 두 수의 곱이 홀수인 경우는 [eqn: (1, 3)]의 [eqn: 1]가지이고, 나머지 [eqn: 5]가지는 두 수의 곱이 짝수이며 최댓값이 [eqn: 3 times 4 = 12]이므로 모두 [eqn: 24] 이하이다.

따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 [eqn: 5]이다.

(ⅱ) 꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 모두 검은 공인 경우

검은 공 [eqn: 4]개 중에서 [eqn: 2]개를 꺼내는 경우의 수는 [eqn: rm{}{}_{{4}} C _{{2}} = 6]이다.

이 중 두 수의 곱이 [eqn: 24] 이하의 짝수인 경우는 [eqn: (4, 5)], [eqn: (4, 6)]의 [eqn: 2]가지이다.

따라서 조건을 만족하는 총 경우의 수는 [eqn: 16 + 5 + 2 = 23]

그러므로 구하는 확률은 [eqn: {23} over {28}]이다.

[eqn: p=28], [eqn: q=23]이므로 [eqn: p+q = 51]

따라서 정답은 [eqn: 51]이다.