수학ETF	2023_고2_9월	기출문제
	1~30

[eqn: 2 times 16^{1 over 2}] 의 값은?

④

지수법칙을 이용하여 주어진 식을 계산한다.

[eqn: 16 = 2^{4}]이므로 [eqn: 16^{1 over 2} = (2^{4})^{1 over 2} = 2^{2} = 4]

∴ [eqn: 2 times 16^{1 over 2} = 2 times 4 = 8]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 2 sqrt{2}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 4 sqrt{2}]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 8 sqrt{2}]

[eqn: lim_{x rightarrow 2} {(x-2)(x^{3}+1)} over {x-2}] 의 값은?

①

[eqn: x -> 2]일 때 [eqn: x neq 2]이므로 주어진 식의 분모, 분자를 [eqn: x-2]로 나누면

[eqn: lim from {x -> 2} {(x-2)(x^{3}+1)} over {x-2} = lim from {x -> 2} (x^{3}+1)]

극한값을 계산하면 [eqn: lim from {x -> 2} (x^{3}+1) = 2^{3} + 1 = 9]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[eqn: 4cos {pi} over {3}] 의 값은?

⑤

삼각함수의 특수각의 값에서 [eqn: cos {pi} over {3} = {1} over {2}]이므로

[eqn: 4cos {pi} over {3} = 4 times {1} over {2} = 2]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt{2}} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt{2}]	⑤ [eqn: 2]

네 수 [eqn: a], [eqn: 4], [eqn: b], [eqn: 10]이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a+2b]의 값은?

③

네 수 [eqn: a], [eqn: 4], [eqn: b], [eqn: 10]이 이 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항의 성질에 의해

[eqn: 2b = 4 + 10]에서 [eqn: 2b = 14], [eqn: b = 7]

또한, [eqn: 2 times 4 = a + b]에서 [eqn: 8 = a + 7], [eqn: a = 1]

구하는 값은 [eqn: a + 2b = 1 + 2 times 7 = 15]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x rightarrow 1-} f(x) + lim_{x rightarrow 3+} f(x)]의 값은?

⑤

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: x -> 1-]일 때 [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 2]에 한없이 가까워지므로

[eqn: lim from {x -> 1-} f(x) = 2]

[eqn: x -> 3+]일 때 [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 3]에 한없이 가까워지므로

[eqn: lim from {x -> 3+} f(x) = 3]

∴ [eqn: lim from {x -> 1-} f(x) + lim from {x -> 3+} f(x) = 2 + 3 = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan theta = 2]일 때, [eqn: cos theta]의 값은?

②

삼각함수의 관계식 [eqn: 1 + tan^{2} theta = {1} over {cos^{2} theta}]이므로

[eqn: 1 + 2^{2} = {1} over {cos^{2} theta}], [eqn: 5 = {1} over {cos^{2} theta}], [eqn: cos^{2} theta = {1} over {5}]

이때 [eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]에서 [eqn: theta]는 제[eqn: 3]사분면의 각이므로 [eqn: cos theta < 0]이다.

∴ [eqn: cos theta = - {1} over {sqrt{5}} = - {{sqrt{5}} over {5}}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: - {{2 sqrt{5}} over {5}}]	② [eqn: - {{sqrt{5}} over {5}}]	③ [eqn: - {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {sqrt{5}} over {5}]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여
[eqn: sum_{k=1}^{5} (2a_{k}-1)^{2} = 61], [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k}(a_{k}-4) = 11]
일 때, [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k}^{2}]의 값은?

④

주어진 식을 전개하여 정리하면

[eqn: sum from {k=1} to {5} (2a_{k}-1)^{2} = sum from {k=1} to {5} (4a_{k}^{2} - 4a_{k} + 1)]

[eqn: = 4 sum from {k=1} to {5} a_{k}^{2} - 4 sum from {k=1} to {5} a_{k} + sum from {k=1} to {5} 1][eqn: = 4 sum from {k=1} to {5} a_{k}^{2} - 4 sum from {k=1} to {5} a_{k} + 5 = 61]

∴ [eqn: 4 sum from {k=1} to {5} a_{k}^{2} - 4 sum from {k=1} to {5} a_{k} = 56] ……①

또한,

[eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k}(a_{k}-4) = sum from {k=1} to {5} (a_{k}^{2} - 4a_{k})][eqn: = sum from {k=1} to {5} a_{k}^{2} - 4 sum from {k=1} to {5} a_{k} = 11] ……②

①에서 ②를 빼면 [eqn: 3 sum from {k=1} to {5} a_{k}^{2} = 45] ∴ [eqn: sum from {k=1} to {5} a_{k}^{2} = 15]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: 0 leq x leq 2pi]일 때, 방정식 [eqn: 2sin^{2}x+3sin x-2=0]의 모든 해의 합은?

③

방정식 [eqn: 2sin^{2}x + 3sin x - 2 = 0]을 인수분해하면

[eqn: (2sin x - 1)(sin x + 2) = 0]

[eqn: sin x = {1} over {2}] 또는 [eqn: sin x = -2]

이때 [eqn: -1 leq sin x leq 1]이므로 [eqn: sin x = {1} over {2}]

[eqn: 0 leq x leq 2pi]에서 [eqn: sin x = {1} over {2}]를 만족하는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x = {pi} over {6}] 또는 [eqn: x = {5pi} over {6}]

모든 해의 합은 [eqn: {pi} over {6} + {5pi} over {6} = pi]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {pi} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}pi]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: {5} over {4}pi]	⑤ [eqn: {3} over {2}pi]

두 양수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여
[eqn: log_{2} left ( m^{2} + {1} over {4} right ) = -1], [eqn: log_{2} m = 5 + 3 log_{2} n]
일 때, [eqn: m+n]의 값은?

③

로그의 정의를 이용하여 [eqn: m]과 [eqn: n]의 값을 각각 구한다.

[eqn: log_{2} left ( m^{2} + {1} over {4} right ) = -1]에서, [eqn: m^{2} + {1} over {4} = 2^{-1} = {1} over {2}], [eqn: m^{2} = {1} over {4}]

[eqn: m]은 양수이므로 [eqn: m = {1} over {2}]

[eqn: log_{2} m = 5 + 3 log_{2} n]에 [eqn: m = {1} over {2}]을 대입하면

[eqn: log_{2} left ( {1} over {2} right ) = 5 + 3 log_{2} n], [eqn: -1 = 5 + 3 log_{2} n], [eqn: 3 log_{2} n = -6]

[eqn: log_{2} n = -2], [eqn: n = 2^{-2} = {1} over {4}]

∴ [eqn: m+n = {1} over {2} + {1} over {4} = {3} over {4}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {5} over {8}]	② [eqn: {11} over {16}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {13} over {16}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

[eqn: rmoverline {AB} = 6], [eqn: rmoverline {BC} = 7]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 15]일 때, [eqn: rmcos(angle ABC)]의 값은? (단, [eqn: rm0 < angle ABC < {pi} over {2}])

②

[eqn: rmangle ABC = B]라 하면 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 15]이므로

[eqn: rm{1} over {2} times overline {AB} times overline {BC} times sin B = 15], [eqn: {1} over {2} times 6 times 7 times sin B = 15]

[eqn: 21 sin B = 15] ∴ [eqn: sin B = {5} over {7}]

[eqn: 0 < B < {pi} over {2}]이므로 [eqn: cos B > 0]이다.

[eqn: sin^{2} B + cos^{2} B = 1]에서

[eqn: cos B = sqrt{1 - sin^{2} B}][eqn: = sqrt{1 - left ( {5} over {7} right )^{2}}][eqn: = sqrt{1 - {25} over {49}}][eqn: = sqrt{{24} over {49}}][eqn: = {2 sqrt{6}} over {7}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {sqrt{21}} over {7}]	② [eqn: {2 sqrt{6}} over {7}]	③ [eqn: {3 sqrt{3}} over {7}]

④ [eqn: {sqrt{30}} over {7}]	⑤ [eqn: {sqrt{33}} over {7}]

첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 1]보다 큰 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.
[eqn: {S_{4}} over {S_{2}} = {6a_{3}} over {a_{5}}]
일 때, [eqn: a_{7}]의 값은?

①

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 공비를 [eqn: r] ([eqn: r > 1])이라 하면

첫째항이 [eqn: 3]이므로 [eqn: a_{n} = 3r^{n-1}]이고, [eqn: S_{n} = {3(r^{n}-1)} over {r-1}]에서

[eqn: {S_{4}} over {S_{2}} = {r^{4}-1} over {r^{2}-1} = {(r^{2}-1)(r^{2}+1)} over {r^{2}-1} = r^{2}+1]이고

[eqn: {6a_{3}} over {a_{5}} = {6 times 3r^{2}} over {3r^{4}} = {6} over {r^{2}}]이므로

[eqn: r^{2}+1 = {6} over {r^{2}}]에서

[eqn: r^{4} + r^{2} - 6 = 0], [eqn: (r^{2}+3)(r^{2}-2) = 0]

[eqn: r > 1]이므로 [eqn: r^{2} > 1]에서 ∴ [eqn: r^{2} = 2]

따라서 구하는 값은 [eqn: a_{7} = 3r^{6} = 3 times (r^{2})^{3} = 3 times 2^{3} = 24]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: y=a tan(bx+c)]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a times b times c]의 값은? (단, [eqn: 0 < c < pi])

①

그래프에서 함수 [eqn: y = a tan(bx+c)]의 주기는 이웃한 두 점근선 [eqn: x = -5 pi]와 [eqn: x = - pi] 사이의 거리와 같으므로

주기는 [eqn: - pi - (-5 pi) = 4 pi]이다.

함수의 주기는 [eqn: {pi} over {b}] ([eqn: b > 0])이므로 [eqn: {pi} over {b} = 4 pi] ∴ [eqn: b = {1} over {4}]

그래프가 [eqn: x]축과 [eqn: x = pi]에서 만나므로 점 [eqn: ( pi, 0)]을 지난다.

[eqn: 0 = a tan left ( {1} over {4} pi + c right )]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: tan left ( {pi} over {4} + c right ) = 0]

[eqn: {pi} over {4} + c = n pi] ([eqn: n]은 정수), [eqn: c = n pi - {pi} over {4}]

[eqn: 0 < c < pi]이므로 [eqn: n = 1]일 때 [eqn: c = {3} over {4} pi]이다.

또한 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표가 [eqn: -3]이므로 점 [eqn: (0, -3)]을 지난다.

[eqn: -3 = a tan left ( {3} over {4} pi right )]

[eqn: tan left ( {3} over {4} pi right ) = -1]이므로 [eqn: -3 = -a] ∴ [eqn: a = 3]

따라서 [eqn: a times b times c = 3 times {1} over {4} times {3} over {4} pi = {9} over {16} pi]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {9} over {16} pi]	② [eqn: {5} over {8} pi]	③ [eqn: {11} over {16} pi]

④ [eqn: {3} over {4} pi]	⑤ [eqn: {13} over {16} pi]

첫째항이 [eqn: 2]인 수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+1} = {cases{2a _{n} -1&``` LEFT ( a _{n} <8 RIGHT )#{1} over {3} a _{n}&``` LEFT ( a _{n} GEQ 8 RIGHT )}}]
을 만족시킬 때, [eqn: sum_{k=1}^{16} a_{k}]의 값은?

④

주어진 점화식에 [eqn: n=1, 2, 3, cdots]을 차례로 대입하여 수열의 각 항을 구하면

[eqn: a_{1} = 2]

[eqn: a_{1} < 8]이므로 [eqn: a_{2} = 2 times 2 - 1 = 3]

[eqn: a_{2} < 8]이므로 [eqn: a_{3} = 2 times 3 - 1 = 5]

[eqn: a_{3} < 8]이므로 [eqn: a_{4} = 2 times 5 - 1 = 9]

[eqn: a_{4} geq 8]이므로 [eqn: a_{5} = {1} over {3} times 9 = 3]

[eqn: a_{5} < 8]이므로 [eqn: a_{6} = 2 times 3 - 1 = 5]

[eqn: a_{6} < 8]이므로 [eqn: a_{7} = 2 times 5 - 1 = 9]

[eqn: cdots]

즉, 수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 [eqn: n geq 2]일 때 [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 9]가 반복되는 수열이다.

구하는 값은 [eqn: sum from {k=1} to {16} a_{k}]이므로 [eqn: sum from {k=1} to {16} a_{k} = a_{1} + sum from {k=2} to {16} a_{k}]

[eqn: a_{2}]부터 [eqn: a_{16}]까지의 항의 개수는 [eqn: 15]개이고, [eqn: 3]개의 항이 반복되므로 [eqn: sum from {k=1} to {16} a_{k} = 2 + 5 times (3 + 5 + 9)][eqn: = 2 + 5 times 17][eqn: = 2 + 85 = 87]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 78]	② [eqn: 81]	③ [eqn: 84]

④ [eqn: 87]	⑤ [eqn: 90]

[eqn: 4 leq n leq 12]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n^{2}-15n+50]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: f(n)=f(n+1)]을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

③

이 문제의 핵심은 거듭제곱근 중 실수인 것의 개수가 [eqn: n]의 홀짝성과 근호 안의 수의 부호에 따라 결정됨을 이용하는 것이다.

[eqn: A(n) = n^{2}-15n+50]이라 하면 [eqn: A(n) = (n-5)(n-10)]이다.

어떤 실수 [eqn: A(n)]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수 [eqn: f(n)]은 다음과 같이 결정된다.

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때

[eqn: A(n)]의 값에 관계없이 [eqn: f(n) = 1]이다.

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때

[eqn: A(n) > 0]이면 [eqn: f(n) = 2]

[eqn: A(n) = 0]이면 [eqn: f(n) = 1]

[eqn: A(n) < 0]이면 [eqn: f(n) = 0]이다.

[eqn: 4 leq n leq 13]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)]의 값을 각각 구하면 다음과 같다.

[eqn: n=4]일 때, [eqn: A(4) = 6 > 0]이고 짝수이므로 [eqn: f(4) = 2]

[eqn: n=5]일 때, 홀수이므로 [eqn: f(5) = 1]

[eqn: n=6]일 때, [eqn: A(6) = -4 < 0]이고 짝수이므로 [eqn: f(6) = 0]

[eqn: n=7]일 때, 홀수이므로 [eqn: f(7) = 1]

[eqn: n=8]일 때, [eqn: A(8) = -6 < 0]이고 짝수이므로 [eqn: f(8) = 0]

[eqn: n=9]일 때, 홀수이므로 [eqn: f(9) = 1]

[eqn: n=10]일 때, [eqn: A(10) = 0]이고 짝수이므로 [eqn: f(10) = 1]

[eqn: n=11]일 때, 홀수이므로 [eqn: f(11) = 1]

[eqn: n=12]일 때, [eqn: A(12) = 14 > 0]이고 짝수이므로 [eqn: f(12) = 2]

[eqn: n=13]일 때, 홀수이므로 [eqn: f(13) = 1]

[eqn: 4 leq n leq 12]에서 [eqn: f(n) = f(n+1)]을 만족시키는 [eqn: n]의 값을 찾으면

[eqn: f(9) = f(10) = 1]이므로 [eqn: n=9]

[eqn: f(10) = f(11) = 1]이므로 [eqn: n=10]

그 외의 [eqn: n]에 대해서는 [eqn: f(n) neq f(n+1)]이다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값은 [eqn: 9], [eqn: 10]이므로 그 합은 [eqn: 9 + 10 = 19]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

자연수 [eqn: n]에 대하여 원 [eqn: x^{2}+y^{2}=n]이 직선 [eqn: y=sqrt{3}x]와 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{n}]이라 하자. [eqn: sum_{k=1}^{80} {1} over {x_{k}+x_{k+1}}]의 값은?

⑤

원 [eqn: x^{2}+y^{2}=n]과 직선 [eqn: y=sqrt{3}x]가 만나는 교점의 [eqn: x]좌표를 구하기 위해 두 식을 연립하면

[eqn: x^{2}+(sqrt{3}x)^{2}=n], [eqn: 4x^{2}=n], [eqn: x^{2}={n} over {4}]

제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점의 [eqn: x]좌표 [eqn: x_{n}]은 [eqn: x_{n} > 0]이므로

[eqn: x_{n}=sqrt{{n} over {4}}={sqrt{n}} over {2}]

주어진 식에 대입하여 정리하면

[eqn: sum from {k=1} to {80} {1} over {x_{k}+x_{k+1}}][eqn: = sum from {k=1} to {80} {1} over {{sqrt{k}} over {2}+{sqrt{k+1}} over {2}}][eqn: = sum from {k=1} to {80} {2} over {sqrt{k+1}+sqrt{k}}]

분모를 유리화하면

[eqn: = sum from {k=1} to {80} {2(sqrt{k+1}-sqrt{k})} over {(sqrt{k+1}+sqrt{k})(sqrt{k+1}-sqrt{k})}]

[eqn: = sum from {k=1} to {80} 2(sqrt{k+1}-sqrt{k})]

[eqn: = 2 left { (sqrt{2}-1)+(sqrt{3}-sqrt{2})+ cdots +(sqrt{81}-sqrt{80}) right }]

[eqn: = 2(sqrt{81}-1)][eqn: = 2(9-1)][eqn: = 16]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가
[eqn: 2^{a} = 3^{b} = c], [eqn: a^{2} + b^{2} = 2ab(a+b-1)]
을 만족시킬 때, [eqn: log_{6}c]의 값은?

②

주어진 조건 [eqn: 2^{a} = 3^{b} = c]에서 로그의 정의에 의해

[eqn: a = log_{2}c], [eqn: b = log_{3}c]

밑의 변환 공식에 의해 [eqn: {1} over {a} = log_{c}2], [eqn: {1} over {b} = log_{c}3]

두 식을 더하면 [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} = log_{c}2 + log_{c}3 = log_{c}6]

즉, [eqn: {a+b} over {ab} = log_{c}6]

따라서 [eqn: log_{6}c = {ab} over {a+b}] ……①

주어진 조건 [eqn: a^{2} + b^{2} = 2ab(a+b-1)]에서

[eqn: (a+b)^{2} - 2ab = 2ab(a+b) - 2ab], [eqn: (a+b)^{2} = 2ab(a+b)]

[eqn: a], [eqn: b]가 양수이므로 [eqn: a+b > 0]이다.

양변을 [eqn: a+b]로 나누면 [eqn: a+b = 2ab]

즉, [eqn: {ab} over {a+b} = {1} over {2}] ……②

①, ②에서 [eqn: log_{6}c = {1} over {2}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {sqrt{2}} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {sqrt{2}} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt{2}]

모든 항이 양수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{4}+a_{6}]의 최솟값은?

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2a_{n+1}=a_{n}+a_{n+2}]이다.

(나) [eqn: a_{3} times a_{22}=a_{7} times a_{8}+10]

④

조건 (가)에서 [eqn: 2a_{n+1} = a_{n} + a_{n+2}]이므로 수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 등차수열이다.

수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{n} = a + (n-1)d]

조건 (나)에서 [eqn: (a+2d)(a+21d) = (a+6d)(a+7d) + 10]

[eqn: a^{2} + 23ad + 42d^{2} = a^{2} + 13ad + 42d^{2} + 10]

[eqn: 10ad = 10] ∴ [eqn: ad = 1] ……①

모든 항이 양수이므로 [eqn: a_{1} = a > 0]이고, ①에서 [eqn: ad = 1]이므로 [eqn: d > 0]이다.

구하고자 하는 값은 [eqn: a_{4} + a_{6}]이므로

[eqn: a_{4} + a_{6} = (a+3d) + (a+5d) = 2a + 8d]

[eqn: a > 0], [eqn: d > 0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해

[eqn: 2a + 8d geq 2 sqrt{2a times 8d} = 2 sqrt{16ad}]

①에 의해 [eqn: ad = 1]이므로

[eqn: 2a + 8d geq 2 sqrt{16} = 8]

(단, 등호는 [eqn: 2a = 8d], 즉 [eqn: a = 4d]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: a_{4} + a_{6}]의 최솟값은 [eqn: 8]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=log_{2}x], [eqn: y=log_{2}(x-p)+q]가 점 [eqn: (4,`2)]에서 만난다. 두 곡선 [eqn: y=log_{2}x], [eqn: y=log_{2}(x-p)+q]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 직선 [eqn: y=3]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmoverline{CD}-overline{BA}={3} over {4}]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: 0<p<4], [eqn: q>0])

④

곡선 [eqn: y=log_{2}(x-p)+q]가 점 [eqn: (4, 2)]를 지나므로

[eqn: 2=log_{2}(4-p)+q]에서 [eqn: q = 2 - log_{2}(4-p)] ……①

점 [eqn: rmA]는 곡선 [eqn: y=log_{2}x]가 [eqn: x]축과 만나는 점이므로 [eqn: log_{2}x=0]에서 [eqn: x=1] ∴ [eqn: rmA(1, 0)]

점 [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: y=log_{2}(x-p)+q]가 [eqn: x]축과 만나는 점이므로 [eqn: log_{2}(x-p)+q=0]에서 [eqn: x-p=2^{-q}] ∴ [eqn: rmB(itp+2 ^{-q} ,0)]

점 [eqn: rmC]는 곡선 [eqn: y=log_{2}x]가 직선 [eqn: y=3]과 만나는 점이므로 [eqn: log_{2}x=3]에서 [eqn: x=2^{3}=8] ∴ [eqn: rmC(8, 3)]

점 [eqn: rmD]는 곡선 [eqn: y=log_{2}(x-p)+q]가 직선 [eqn: y=3]과 만나는 점이므로 [eqn: log_{2}(x-p)+q=3]에서 [eqn: x-p=2^{3-q}]

∴ [eqn: rm,D(itp+2 ^{3-q} ,3)]

그래프에서 점 [eqn: rmA]는 점 [eqn: rmB]의 왼쪽에, 점 [eqn: rmD]는 점 [eqn: rmC]의 왼쪽에 위치하므로

[eqn: {bar{rmBA}} =p+2 ^{-q} -1], [eqn: {bar{rmCD}} =8-(p+2 ^{3-q} )]

[eqn: {bar{rmCD}} - {bar{rmBA}} = {3} over {4}]이므로

[eqn: left { 8-(p+2^{3-q}) right } - (p+2^{-q}-1) = {3} over {4}]

[eqn: 9 - 2p - 2^{-q}(2^{3}+1) = {3} over {4}]

[eqn: 9 - 2p - 9 times 2^{-q} = {3} over {4}] ……②

①에서 [eqn: 2^{-q} = 2^{-2+log_{2}(4-p)} = 2^{-2} times 2^{log_{2}(4-p)} = {4-p} over {4}]이므로 이를 ②에 대입하면

[eqn: 9 - 2p - 9 times {4-p} over {4} = {3} over {4}]

양변에 [eqn: 4]를 곱하면 [eqn: 36 - 8p - 9(4-p) = 3]

[eqn: 36 - 8p - 36 + 9p = 3] ∴ [eqn: p = 3]

[eqn: p=3]을 ①에 대입하면

[eqn: q = 2 - log_{2}(4-3) = 2] ∴ [eqn: p+q = 3+2 = 5]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {9} over {2}]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {11} over {2}]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 네 수 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{5}], [eqn: a_{7}]은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이룬다.

(나) [eqn: 8] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} times a_{9-n} = 75] 이다.

[eqn: a_{1} + a_{2} = {10} over {3}], [eqn: sum_{k=1}^{8} a_{k} = {400} over {3}]일 때, [eqn: a_{3} + a_{8}]의 값은?

⑤

조건 (가)에서 네 수 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{5}], [eqn: a_{7}]은 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을 이루므로 공비를 [eqn: r] ([eqn: r > 0])이라 하면

[eqn: a_{3} = a_{1} r], [eqn: a_{5} = a_{1} r^{2}], [eqn: a_{7} = a_{1} r^{3}]

조건 (나)에서 [eqn: 8] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} times a_{9-n} = 75]이므로

[eqn: n=1, 2, 3, 4]를 대입하면

[eqn: a_{1} a_{8} = 75]에서 [eqn: a_{8} = {75} over {a_{1}}]

[eqn: a_{2} a_{7} = 75]에서 [eqn: a_{2} = {75} over {a_{7}} = {75} over {a_{1} r^{3}}]

[eqn: a_{3} a_{6} = 75]에서 [eqn: a_{6} = {75} over {a_{3}} = {75} over {a_{1} r}]

[eqn: a_{4} a_{5} = 75]에서 [eqn: a_{4} = {75} over {a_{5}} = {75} over {a_{1} r^{2}}]

주어진 조건에서 [eqn: sum from {k=1} to {8} a_{k} = {400} over {3}]이므로

[eqn: a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} + a_{8} = {400} over {3}]

[eqn: a_{1} + {75} over {a_{1} r^{3}} + a_{1} r + {75} over {a_{1} r^{2}} + a_{1} r^{2} + {75} over {a_{1} r} + a_{1} r^{3} + {75} over {a_{1}} = {400} over {3}]

[eqn: (a_{1} + a_{1} r + a_{1} r^{2} + a_{1} r^{3}) + left ( {75} over {a_{1} r^{3}} + {75} over {a_{1} r^{2}} + {75} over {a_{1} r} + {75} over {a_{1}} right ) = {400} over {3}]

[eqn: a_{1} (1 + r + r^{2} + r^{3}) + {75} over {a_{1} r^{3}} (1 + r + r^{2} + r^{3}) = {400} over {3}]

[eqn: left ( a_{1} + {75} over {a_{1} r^{3}} right ) (1 + r + r^{2} + r^{3}) = {400} over {3}]

이때 [eqn: a_{1} + a_{2} = a_{1} + {75} over {a_{1} r^{3}} = {10} over {3}]이므로

[eqn: {10} over {3} (1 + r + r^{2} + r^{3}) = {400} over {3}]

[eqn: 1 + r + r^{2} + r^{3} = 40], [eqn: r^{3} + r^{2} + r - 39 = 0], [eqn: (r-3)(r^{2} + 4r + 13) = 0]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r = 3]

[eqn: r = 3]을 [eqn: a_{1} + {75} over {a_{1} r^{3}} = {10} over {3}]에 대입하면

[eqn: a_{1} + {75} over {27 a_{1}} = {10} over {3}], [eqn: a_{1} + {25} over {9 a_{1}} = {10} over {3}]

양변에 [eqn: 9 a_{1}]을 곱하면

[eqn: 9 a_{1}^{2} + 25 = 30 a_{1}], [eqn: 9 a_{1}^{2} - 30 a_{1} + 25 = 0], [eqn: (3 a_{1} - 5)^{2} = 0]

∴ [eqn: a_{1} = {5} over {3}]

따라서 [eqn: a_{3} = a_{1} r = {5} over {3} times 3 = 5]이고, [eqn: a_{8} = {75} over {a_{1}} = {75} over { {5} over {3} } = 45]이므로

[eqn: a_{3} + a_{8} = 5 + 45 = 50]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {110} over {3}]	② [eqn: 40]	③ [eqn: {130} over {3}]

④ [eqn: {140} over {3}]	⑤ [eqn: 50]

이차함수 [eqn: f(x)=(x-k)^{2} (k>0)]이 있다. 양수 [eqn: a]에 대하여 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&``` LEFT ( x LEQ 3 RIGHT )#kf LEFT ( x-a RIGHT )&``` LEFT ( x>3 RIGHT )}}]
이 다음 조건을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(가) [eqn: lim_{x rightarrow 3} g(x)]가 존재한다.

(나) 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: x]축과 오직 한 점에서만 만난다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(1)=1]이면 [eqn: g(2)=0]이다. ㄴ. [eqn: g(k+a)<g(3)] ㄷ. [eqn: (k-1)(k-2) geq 0]

②

조건 (가)에서 [eqn: lim from {x -> 3-} g(x) = lim from {x -> 3+} g(x)] 이어야 하므로

[eqn: f(3) = k f(3-a)] 에서 [eqn: (3-k)^{2} = k(3-a-k)^{2}] ……①

조건 (나)에서 [eqn: g(x) = 0] 을 만족하는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x leq 3] 일 때 [eqn: (x-k)^{2} = 0] 에서 [eqn: x = k]

[eqn: x > 3] 일 때 [eqn: k(x-a-k)^{2} = 0] 에서 [eqn: x = k+a]

[eqn: k > 0], [eqn: a > 0] 이므로 [eqn: k < k+a] 이다.

함수 [eqn: y=g(x)] 의 그래프가 [eqn: x]축과 오직 한 점에서 만나려면 다음 두 가지 경우 중 하나를 만족해야 한다.

(ⅰ) [eqn: k leq 3] 이고 [eqn: k+a leq 3] (이 경우 [eqn: x=k] 만 근이 됨)

(ⅱ) [eqn: k > 3] 이고 [eqn: k+a > 3] (이 경우 [eqn: x=k+a] 만 근이 됨)

(ⅱ)의 경우, [eqn: k > 3] 이면 [eqn: 3-k < 0] 이고 [eqn: k+a > 3] 이므로 [eqn: 3-a-k < 0] 이다.

①에서 [eqn: k-3 = sqrt{k} (k+a-3)] 이므로 [eqn: k+a-3 = {k-3} over {sqrt{k}}]

[eqn: a = (k-3) left ( {1} over {sqrt{k}} - 1 right )]

[eqn: k > 3] 이므로 [eqn: sqrt{k} > 1] 이 되어 [eqn: {1} over {sqrt{k}} - 1 < 0] 이다.

따라서 [eqn: a < 0] 이 되어 [eqn: a > 0] 이라는 조건에 모순이다.

(ⅰ)의 경우, [eqn: k leq 3] 이고 [eqn: k+a leq 3] 이면 [eqn: 3-k geq 0] 이고 [eqn: 3-a-k geq 0] 이다.

①에서 [eqn: 3-k = sqrt{k} (3-a-k)] 이므로 [eqn: 3-a-k = {3-k} over {sqrt{k}}]

[eqn: a = (3-k) left ( 1 - {1} over {sqrt{k}} right )]

[eqn: a > 0] 이고 [eqn: 3-k > 0] (만약 [eqn: k=3] 이면 [eqn: a=0] 이 되어 모순) 이므로 [eqn: 1 - {1} over {sqrt{k}} > 0] 이다.

따라서 [eqn: sqrt{k} > 1] 이므로 [eqn: k > 1] 이다.

즉, [eqn: 1 < k < 3] 이고 [eqn: a = (3-k) left ( 1 - {1} over {sqrt{k}} right )] 이다.

이때 [eqn: k+a = 3 - {3-k} over {sqrt{k}} < 3] 이므로 [eqn: k+a leq 3] 조건을 만족한다.

ㄱ. [eqn: f(1) = 1] 이면 [eqn: (1-k)^{2} = 1] 에서 [eqn: 1-k = +- 1] 이므로 [eqn: k=0] 또는 [eqn: k=2] 이다.

[eqn: 1 < k < 3] 이므로 [eqn: k=2] 이다.

[eqn: k=2] 이면 [eqn: g(2) = f(2) = (2-2)^{2} = 0] 이다. (참)

ㄴ. [eqn: k+a < 3] 이므로 [eqn: g(k+a) = f(k+a) = (k+a-k)^{2} = a^{2}] 이다.

[eqn: g(3) = f(3) = (3-k)^{2}] 이다.

[eqn: a = (3-k) left ( 1 - {1} over {sqrt{k}} right )] 이고 [eqn: 1 < k < 3] 에서 [eqn: 0 < 1 - {1} over {sqrt{k}} < 1] 이므로 [eqn: a < 3-k] 이다.

[eqn: a > 0], [eqn: 3-k > 0] 이므로 [eqn: a^{2} < (3-k)^{2}] 이다.

따라서 [eqn: g(k+a) < g(3)] 이다. (참)

ㄷ. [eqn: 1 < k < 3] 이므로 [eqn: k=1.5] 일 때 [eqn: (1.5-1)(1.5-2) = -0.25 < 0] 이 되어 항상 성립하는 것은 아니다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

따라서 정답은 ②이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: n]이 [eqn: 3]의 배수가 아닌 경우 [eqn: a_{n+1} = (-1)^{n} times a_{n}]이다.

(나) [eqn: n]이 [eqn: 3]의 배수인 경우 [eqn: a_{n+3} = -a_{n} - n]이다.

[eqn: a_{20} + a_{21} = 0]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{18} a_{k}]의 값은?

③

조건 (가)에서 [eqn: n=19], [eqn: n=20]일 때

[eqn: a_{20} = (-1)^{19} times a_{19} = -a_{19}]

[eqn: a_{21} = (-1)^{20} times a_{20} = a_{20}]

[eqn: a_{20} + a_{21} = 0]이므로 [eqn: 2a_{20} = 0]

∴ [eqn: a_{20} = 0], [eqn: a_{21} = 0]

조건 (나)에서 [eqn: n]이 [eqn: 3]의 배수일 때 [eqn: a_{n+3} = -a_{n} - n]이므로

[eqn: n=18]일 때, [eqn: a_{21} = -a_{18} - 18]에서 [eqn: 0 = -a_{18} - 18] ∴ [eqn: a_{18} = -18]

[eqn: n=15]일 때, [eqn: a_{18} = -a_{15} - 15]에서 [eqn: -18 = -a_{15} - 15] ∴ [eqn: a_{15} = 3]

[eqn: n=12]일 때, [eqn: a_{15} = -a_{12} - 12]에서 [eqn: 3 = -a_{12} - 12] ∴ [eqn: a_{12} = -15]

[eqn: n=9]일 때, [eqn: a_{12} = -a_{9} - 9]에서 [eqn: -15 = -a_{9} - 9] ∴ [eqn: a_{9} = 6]

[eqn: n=6]일 때, [eqn: a_{9} = -a_{6} - 6]에서 [eqn: 6 = -a_{6} - 6] ∴ [eqn: a_{6} = -12]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: a_{6} = -a_{3} - 3]에서 [eqn: -12 = -a_{3} - 3] ∴ [eqn: a_{3} = 9]

자연수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: a_{3m-2} + a_{3m-1} + a_{3m}]의 값을 구하면

(ⅰ) [eqn: m]이 홀수일 때, [eqn: 3m-2]는 홀수, [eqn: 3m-1]은 짝수이므로 조건 (가)에 의해

[eqn: a_{3m-1} = (-1)^{3m-2} times a_{3m-2} = -a_{3m-2}]

[eqn: a_{3m} = (-1)^{3m-1} times a_{3m-1} = a_{3m-1} = -a_{3m-2}]

∴ [eqn: a_{3m-2} + a_{3m-1} + a_{3m} = a_{3m-2} - a_{3m-2} - a_{3m-2} = -a_{3m-2} = a_{3m}]

(ⅱ) [eqn: m]이 짝수일 때, [eqn: 3m-2]는 짝수, [eqn: 3m-1]은 홀수이므로 조건 (가)에 의해

[eqn: a_{3m-1} = (-1)^{3m-2} times a_{3m-2} = a_{3m-2}]

[eqn: a_{3m} = (-1)^{3m-1} times a_{3m-1} = -a_{3m-1} = -a_{3m-2}]

∴ [eqn: a_{3m-2} + a_{3m-1} + a_{3m} = a_{3m-2} + a_{3m-2} - a_{3m-2} = a_{3m-2} = -a_{3m}]

따라서 구하는 합은

[eqn: sum from {k=1} to {18} a_{k} = (a_{1} + a_{2} + a_{3}) + (a_{4} + a_{5} + a_{6}) + cdots + (a_{16} + a_{17} + a_{18})]

[eqn: = a_{3} - a_{6} + a_{9} - a_{12} + a_{15} - a_{18}]

[eqn: = 9 - (-12) + 6 - (-15) + 3 - (-18)]

[eqn: = 9 + 12 + 6 + 15 + 3 + 18 = 63]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 57]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 63]

④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 69]

[eqn: log_{2}8+log_{2}{1} over {2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

[eqn: 8 = 2^{3}]이고 [eqn: {1} over {2} = 2^{-1}]이므로

[eqn: log_{2}8 = log_{2}2^{3} = 3], [eqn: log_{2}{1} over {2} = log_{2}2^{-1} = -1]

따라서 주어진 식은 [eqn: log_{2}8 + log_{2}{1} over {2} = 3 + (-1) = 2]

따라서 정답은 [eqn: 2]이다.

호의 길이가 [eqn: 2pi]이고 넓이가 [eqn: 6pi]인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.

[eqn: 6]

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r], 호의 길이를 [eqn: l], 넓이를 [eqn: S]라 하면 [eqn: l = 2pi], [eqn: S = 6pi]이다.

부채꼴의 넓이 공식 [eqn: S = {1} over {2} r l]에서

[eqn: 6pi = {1} over {2} times r times 2pi], [eqn: 6pi = pi r], [eqn: r = 6]

따라서 정답은 [eqn: 6]이다.

집합 [eqn: LEFT { x`|`1 LEQ x LEQ 25 RIGHT }]에서 정의된 함수 [eqn: y=6log_{3}(x+2)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.

[eqn: 24]

함수 [eqn: y=6log_{3}(x+2)]는 밑이 [eqn: 3]이고 [eqn: 3 > 1]이므로 증가함수이다.

따라서 [eqn: x]의 값이 최대일 때 최댓값을 가지고, [eqn: x]의 값이 최소일 때 최솟값을 가진다.

[eqn: x=25]일 때 최댓값 [eqn: M]을 가지므로

[eqn: M = 6log_{3}(25+2) = 6log_{3}27 = 6log_{3}3^{3} = 6 times 3 = 18]

[eqn: x=1]일 때 최솟값 [eqn: m]을 가지므로

[eqn: m = 6log_{3}(1+2) = 6log_{3}3 = 6 times 1 = 6]

[eqn: M+m = 18+6 = 24]

따라서 정답은 [eqn: 24]이다.

방정식 [eqn: 9^{x}-10 times 3^{x+1}+81=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha^{2}+beta^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

방정식 [eqn: 9^{x}-10 times 3^{x+1}+81=0]에서

[eqn: 9^{x} = (3^{x})^{2}], [eqn: 3^{x+1} = 3 times 3^{x}]이므로

[eqn: (3^{x})^{2} - 30 times 3^{x} + 81 = 0]

[eqn: 3^{x} = t] ([eqn: t > 0])라 하면

[eqn: t^{2} - 30t + 81 = 0], [eqn: (t - 3)(t - 27) = 0]

∴ [eqn: t = 3] 또는 [eqn: t = 27]

[eqn: t = 3^{x}]이므로 [eqn: 3^{x} = 3]에서 [eqn: x = 1], [eqn: 3^{x} = 27]에서 [eqn: x = 3]

두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 [eqn: 1], [eqn: 3]이므로 [eqn: alpha^{2} + beta^{2} = 1^{2} + 3^{2} = 10]

따라서 정답은 [eqn: 10]이다.

두 이차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가
[eqn: lim_{x rightarrow infty} {f(x)} over {g(x)-x^{2}} = 1], [eqn: lim_{x rightarrow 3} {g(x)-f(x)} over {x-3} = 8]
을 만족시킬 때, [eqn: g(5)-f(5)]의 값을 구하시오.

[eqn: 20]

[eqn: h(x) = g(x) - f(x)]라 하면

[eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 이차함수이므로 [eqn: f(x) = ax^{2} + bx + c] ([eqn: a neq 0]), [eqn: g(x) = px^{2} + qx + r] ([eqn: p neq 0])라 하면

[eqn: lim from {x -> inf} {f(x)} over {g(x)-x^{2}} = 1]에서 분모와 분자의 차수가 같고 최고차항의 계수의 비가 [eqn: 1]이다.

만약 [eqn: p=1]이면 분모가 일차 이하의 식이 되어 [eqn: f(x)]가 이차함수라는 조건에 모순이므로 [eqn: p neq 1]이다.

따라서 [eqn: a = p-1]이고 [eqn: p-a = 1]이다.

[eqn: h(x) = (p-a)x^{2} + (q-b)x + r-c = x^{2} + (q-b)x + r-c]이므로 [eqn: h(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이다.

[eqn: lim from {x -> 3} {g(x)-f(x)} over {x-3} = 8]에서 [eqn: lim from {x -> 3} {h(x)} over {x-3} = 8]이다.

[eqn: x -> 3]일 때 (분모) [eqn: -> 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자) [eqn: -> 0]이다.

즉, [eqn: h(3) = 0]이다.

[eqn: h(x) = (x-3)(x-k)]라 하면

[eqn: lim from {x -> 3} {(x-3)(x-k)} over {x-3} = lim from {x -> 3} (x-k) = 3-k = 8]

[eqn: k = -5]

∴ [eqn: h(x) = (x-3)(x+5)]

따라서 [eqn: g(5) - f(5) = h(5) = (5-3)(5+5) = 20]이다.

따라서 정답은 [eqn: 20]이다.

[eqn: n geq 4]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { x`|`0 LEQ x LEQ 4 RIGHT }]에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= {n} over {2} `cos pi x+1]
이 있다. 방정식 [eqn: left | f(x) right | = 3]의 서로 다른 모든 실근의 합을 [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: sum_{n=4}^{10} g(n)]의 값을 구하시오.

[eqn: 74]

방정식 [eqn: left | f(x) right | = 3]에서 [eqn: f(x) = 3] 또는 [eqn: f(x) = -3]이다.

[eqn: f(x) = {n} over {2} cos pi x + 1]이므로

(ⅰ) [eqn: f(x) = 3]일 때

[eqn: {n} over {2} cos pi x + 1 = 3]에서 [eqn: cos pi x = {4} over {n}]

(ⅱ) [eqn: f(x) = -3]일 때

[eqn: {n} over {2} cos pi x + 1 = -3]에서 [eqn: cos pi x = - {8} over {n}]

함수 [eqn: y = cos pi x]의 주기는 [eqn: 2]이므로 [eqn: 0 leq x leq 4]에서 그래프는 [eqn: x = 1], [eqn: x = 3]에 대하여 각각 대칭이다.

상수 [eqn: k] ([eqn: -1 leq k leq 1])에 대하여 방정식 [eqn: cos pi x = k]의 서로 다른 모든 실근의 합을 구하면 다음과 같다.

[eqn: k = 1]일 때, [eqn: x = 0, 2, 4]이므로 실근의 합은 [eqn: 6]이다.

[eqn: k = -1]일 때, [eqn: x = 1, 3]이므로 실근의 합은 [eqn: 4]이다.

[eqn: -1 < k < 1]일 때, 한 주기 [eqn: 0 leq x < 2]에서 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: 2-alpha]라 하면 합은 [eqn: 2]이고, [eqn: 2 leq x leq 4]에서 두 근을 [eqn: 2+alpha], [eqn: 4-alpha]라 하면 합은 [eqn: 6]이므로 네 실근의 합은 [eqn: 8]이다.

이제 각 [eqn: n]에 대하여 [eqn: g(n)]을 구한다.

[eqn: n = 4]일 때, [eqn: cos pi x = 1] 또는 [eqn: cos pi x = -2]이므로

[eqn: cos pi x = 1]에서 실근의 합은 [eqn: 6]이고, [eqn: cos pi x = -2]는 실근을 갖지 않는다.

∴ [eqn: g(4) = 6]

[eqn: n = 5, 6, 7]일 때, [eqn: 0 < {4} over {n} < 1]이고 [eqn: - {8} over {n} < -1]이므로

[eqn: cos pi x = {4} over {n}]에서 네 실근을 갖고 그 합은 [eqn: 8]이며, [eqn: cos pi x = - {8} over {n}]은 실근을 갖지 않는다.

∴ [eqn: g(5) = g(6) = g(7) = 8]

[eqn: n = 8]일 때, [eqn: cos pi x = {1} over {2}] 또는 [eqn: cos pi x = -1]이므로

[eqn: cos pi x = {1} over {2}]에서 네 실근의 합은 [eqn: 8]이고, [eqn: cos pi x = -1]에서 두 실근의 합은 [eqn: 4]이다.

∴ [eqn: g(8) = 8 + 4 = 12]

[eqn: n = 9, 10]일 때, [eqn: 0 < {4} over {n} < 1]이고 [eqn: -1 < - {8} over {n} < 0]이므로

[eqn: cos pi x = {4} over {n}]에서 네 실근의 합은 [eqn: 8]이고, [eqn: cos pi x = - {8} over {n}]에서 네 실근의 합은 [eqn: 8]이다.

∴ [eqn: g(9) = g(10) = 8 + 8 = 16]

따라서 구하는 값은

[eqn: sum from {n=4} to {10} g(n) = 6 + 8 + 8 + 8 + 12 + 16 + 16 = 74]

따라서 정답은 [eqn: 74]이다.

그림과 같이 [eqn: rmoverline{AB}=2], [eqn: rmcos(angle BAC)={sqrt{3}} over {6}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAC] 위의 한 점 [eqn: rmD]에 대하여 직선 [eqn: rmBD]가 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원과 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmE]라 하자. [eqn: rmoverline{DE}=5], [eqn: rmoverline{CD}+overline{CE}=5sqrt{3}]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이는 [eqn: {q} over {p}pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 191]

[eqn: rmangle BAC = theta]라 하면 [eqn: cos theta = {sqrt{3}} over {6}]이고, 호 [eqn: rmBC]에 대한 원주각의 크기는 같으므로 [eqn: rmangle BEC = angle BAC = theta]이다.

[eqn: {bar{rmCD}} =x], [eqn: {bar{rmCE}} =y]라 하면 조건에서 [eqn: x + y = 5sqrt{3}]이다. ……①

삼각형 [eqn: rmCDE]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rmCD}} ^{2} = {bar{rmCE}} ^{2} + {bar{rmDE}} ^{2} -2 TIMES {bar{rmCE}} TIMES {bar{rmDE}} TIMES cos( ANGLE rmCED)]

[eqn: x^{2} = y^{2} + 5^{2} - 2 times y times 5 times {sqrt{3}} over {6}]

[eqn: x^{2} - y^{2} = 25 - {5sqrt{3}} over {3} y]

[eqn: (x+y)(x-y) = 25 - {5sqrt{3}} over {3} y]

①을 대입하면 [eqn: 5sqrt{3}(x-y) = 25 - {5sqrt{3}} over {3} y]

양변을 [eqn: 5sqrt{3}]으로 나누면 [eqn: x - y = {5} over {sqrt{3}} - {1} over {3} y = {5sqrt{3}} over {3} - {1} over {3} y]

[eqn: x - {2} over {3} y = {5sqrt{3}} over {3}]

양변에 [eqn: 3]을 곱하면 [eqn: 3x - 2y = 5sqrt{3}] ……②

①, ②를 연립하여 풀면

[eqn: 2(x+y) + (3x-2y) = 10sqrt{3} + 5sqrt{3}]에서 [eqn: 5x = 15sqrt{3}] ∴ [eqn: x = 3sqrt{3}]

[eqn: y = 5sqrt{3} - 3sqrt{3} = 2sqrt{3}]

∴ [eqn: {bar{rmCD}} =3 sqrt {3}], [eqn: {bar{rmCE}} =2 sqrt {3}]

원주각의 성질에 의해 [eqn: rmangle BAD = angle CED]이고 맞꼭지각으로 [eqn: rmangle ADB = angle CDE]이므로 삼각형 [eqn: rmABD]와 삼각형 [eqn: rmECD]는 닮음이다.

대응변의 길이의 비가 같으므로 [eqn: rmoverline{AD} : overline{ED} = overline{BD} : overline{CD}]에서 [eqn: rmoverline{AD} times overline{CD} = overline{BD} times overline{DE}]

[eqn: rmoverline{AD} times 3sqrt{3} = overline{BD} times 5] ∴ [eqn: rmoverline{BD} = {3sqrt{3}} over {5} overline{AD}] ……③

삼각형 [eqn: rmABD]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{BD}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} + {bar{AD}} ^{2} -2 TIMES {bar{AB}} TIMES {bar{AD}} TIMES cos( ANGLE rmBAD)]

③을 대입하면 [eqn: rmleft ( {3sqrt{3}} over {5} overline{AD} right )^{2} = 2^{2} + overline{AD}^{2} - 2 times 2 times overline{AD} times {sqrt{3}} over {6}]

[eqn: rm {27} over {25} {bar{AD}} ^{2} =4+ {bar{AD}} ^{2} - {2 sqrt {3}} over {3} {bar{AD}}]

[eqn: rm {2} over {25} {bar{AD}} ^{2} + {2 sqrt {3}} over {3} {bar{AD}} -4=0]

양변에 [eqn: 75]를 곱하면 [eqn: rm 6 {bar{AD}} ^{2} +50 sqrt {3} {bar{AD}} -300=0]

[eqn: rm 3 {bar{AD}} ^{2} +25 sqrt {3} {bar{AD}} -150=0]

근의 공식에 의해

[eqn: rmoverline{AD} = {-25sqrt{3} +- sqrt{1875 - 4 times 3 times (-150)}} over {6} = {-25sqrt{3} +- 35sqrt{3}} over {6}]

[eqn: rmoverline{AD} > 0]이므로 [eqn: rmoverline{AD} = {10sqrt{3}} over {6} = {5sqrt{3}} over {3}]

③에 대입하면 [eqn: rmoverline{BD} = {3sqrt{3}} over {5} times {5sqrt{3}} over {3} = 3]

삼각형 [eqn: rmBCE]에서 [eqn: rmoverline{BE} = overline{BD} + overline{DE} = 3 + 5 = 8]이고 [eqn: rmoverline{CE} = 2sqrt{3}]이므로 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} = {bar{CE}} ^{2} + {bar{BE}} ^{2} -2 TIMES {bar{CE}} TIMES {bar{BE}} TIMES cos( ANGLE rmBEC)]

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} =(2 sqrt {3} ) ^{2} +8 ^{2} -2 TIMES 2 sqrt {3} TIMES 8 TIMES {sqrt {3}} over {6} =12+64-16=60]

∴ [eqn: rmoverline{BC} = 2sqrt{15}]

[eqn: sin^{2} theta = 1 - cos^{2} theta = 1 - left ( {sqrt{3}} over {6} right )^{2} = {33} over {36}]이고 [eqn: sin theta > 0]이므로 [eqn: sin theta = {sqrt{33}} over {6}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면 사인법칙에 의해

[eqn: 2R= {{bar{rmBC}}} over {sin( ANGLE rmBAC)} = {2 sqrt {15}} over {{sqrt {33}} over {6}} = {12 sqrt {15}} over {sqrt {33}} = {12 sqrt {5}} over {sqrt {11}}]

∴ [eqn: R = {6sqrt{5}} over {sqrt{11}}]

외접원의 넓이는 [eqn: pi R^{2} = pi times left ( {6sqrt{5}} over {sqrt{11}} right )^{2} = {180} over {11} pi]

따라서 [eqn: p = 11], [eqn: q = 180]이므로 [eqn: p+q = 191]

따라서 정답은 [eqn: 191]이다.

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}]의 최댓값을 구하시오.

(가) 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_{k}]는 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x^{2}+3x+(8-k)(k-5)=0]의 근이다.

(나) [eqn: a_{n} times a_{n+1} leq 0]을 만족시키는 [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: 5]

조건 (가)의 이차방정식을 정리하면

[eqn: x^{2}+3x-(k-8)(k-5)=0], [eqn: (x+k-5)(x-k+8)=0]

[eqn: x = 5-k] 또는 [eqn: x = k-8]

따라서 [eqn: a_{k} = 5-k] 또는 [eqn: a_{k} = k-8]이다.

[eqn: k=1,2,cdots,`10]에 대하여 [eqn: a_{k}]가 가질 수 있는 값을 나열하면 다음과 같다.

[eqn: k=1]일 때 [eqn: 4, -7]

[eqn: k=2]일 때 [eqn: 3, -6]

[eqn: k=3]일 때 [eqn: 2, -5]

[eqn: k=4]일 때 [eqn: 1, -4]

[eqn: k=5]일 때 [eqn: 0, -3]

[eqn: k=6]일 때 [eqn: -1, -2]

[eqn: k=7]일 때 [eqn: -2, -1]

[eqn: k=8]일 때 [eqn: -3, 0]

[eqn: k=9]일 때 [eqn: -4, 1]

[eqn: k=10]일 때 [eqn: -5, 2]

[eqn: sum from {n=1} to {10} a_{n}]이 최대가 되려면 각 항이 최대가 되어야 하므로, 각 [eqn: k]에 대해 큰 값을 선택한 수열을 고려하자.

[eqn: a_{1}=4, a_{2}=3, a_{3}=2, a_{4}=1, a_{5}=0, a_{6}=-1, a_{7}=-1, a_{8}=0, a_{9}=1, a_{10}=2]

이때 [eqn: a_{n} times a_{n+1} leq 0]인 [eqn: n]을 찾으면

[eqn: a_{4} times a_{5} = 0], [eqn: a_{5} times a_{6} = 0], [eqn: a_{7} times a_{8} = 0], [eqn: a_{8} times a_{9} = 0]이 되어 총 [eqn: 4]개이다.

이는 조건 (나)에 모순이다.

조건 (나)를 만족시키기 위해 [eqn: a_{n} times a_{n+1} leq 0]인 [eqn: n]의 개수를 [eqn: 2]개로 줄여야 한다.

[eqn: a_{5}=0]이면 [eqn: a_{4} times a_{5}=0], [eqn: a_{5} times a_{6}=0]으로 [eqn: 2]개가 발생하고,

[eqn: a_{8}=0]이면 [eqn: a_{7} times a_{8}=0], [eqn: a_{8} times a_{9}=0]으로 [eqn: 2]개가 발생한다.

만약 [eqn: a_{5}=-3, a_{8}=0]으로 변경하면 [eqn: a_{4} times a_{5} < 0], [eqn: a_{7} times a_{8}=0], [eqn: a_{8} times a_{9}=0]으로 [eqn: 3]개가 되어 모순이다.

만약 [eqn: a_{5}=0, a_{8}=-3]으로 변경하면 [eqn: a_{4} times a_{5}=0], [eqn: a_{5} times a_{6}=0], [eqn: a_{8} times a_{9} < 0]으로 [eqn: 3]개가 되어 모순이다.

따라서 [eqn: a_{5}=-3, a_{8}=-3]으로 모두 변경해야 한다.

이 경우 [eqn: a_{4} times a_{5} = -3 < 0], [eqn: a_{8} times a_{9} = -3 < 0]으로 정확히 [eqn: 2]개가 된다.

(이때 [eqn: k=11]에서 [eqn: a_{11}=3]을 선택하면 [eqn: a_{10} times a_{11} = 6 > 0]이므로 조건에 영향을 주지 않는다.)

따라서 조건을 만족시키면서 합이 최대가 되는 수열은

[eqn: a_{1}=4, a_{2}=3, a_{3}=2, a_{4}=1, a_{5}=-3, a_{6}=-1, a_{7}=-1, a_{8}=-3, a_{9}=1, a_{10}=2]이다.

이 수열의 합은

[eqn: 4+3+2+1-3-1-1-3+1+2 = 5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

두 양수 [eqn: a], [eqn: b] ([eqn: a < b])에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT | -ax ^{2} +b RIGHT |&``` LEFT ( x LEQ 0 RIGHT )#x ^{2} -2ax+b ^{2}&``` LEFT ( x>0 RIGHT )}}]
이다. 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]는 최솟값 [eqn: 2]를 갖고, 두 상수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: left | lim_{t -> alpha -} g(t) - lim_{t -> alpha +} g(t) right | = 2]

(나) [eqn: lim_{t -> beta -} g(t) - lim_{t -> beta +} g(t) + 1 = g(beta)]

(다) [eqn: g(alpha) neq g(beta)]

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =alpha], [eqn: alpha + 24beta = 30]일 때, [eqn: f(-2) + f(1) = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 311]

이 문제는 주어진 함수의 그래프를 분석하여 교점의 개수 함수 [eqn: g(t)]의 성질을 파악하는 극한 문제이다.

[eqn: x leq 0]일 때, 함수 [eqn: y = left | -ax^{2} + b right |]의 그래프는 [eqn: x = - sqrt{{b} over {a}}]에서 [eqn: x]축과 만나고, [eqn: y]절편은 [eqn: b]이다.

직선 [eqn: y=t]와 만나는 교점의 개수를 [eqn: g_{1}(t)]라 하면

[eqn: g _{1} LEFT ( t RIGHT ) = {cases{1&``` LEFT ( t>b RIGHT )#2&``` LEFT ( 0<t LEQ b RIGHT )}}]

[eqn: x > 0]일 때, 함수 [eqn: y = x^{2} - 2ax + b^{2} = (x-a)^{2} + b^{2} - a^{2}]의 그래프는 꼭짓점이 [eqn: (a, b^{2}-a^{2})]이고 [eqn: y]절편의 극한값은 [eqn: b^{2}]이다.

직선 [eqn: y=t]와 만나는 교점의 개수를 [eqn: g_{2}(t)]라 하면

[eqn: g _{2} LEFT ( t RIGHT ) = {cases{eqalign{1# 2}&eqalign{``` LEFT ( t GEQ b ^{2} RIGHT )# ``` LEFT ( b ^{2} -a ^{2} <t<b ^{2} RIGHT )}#eqalign{1# 0}&eqalign{``` LEFT ( t=b ^{2} -a ^{2} RIGHT )# ``` LEFT ( 0<t<b ^{2} -a ^{2} RIGHT )}}}]

함수 [eqn: g(t) = g_{1}(t) + g_{2}(t)]의 최솟값이 [eqn: 2]이므로 [eqn: 0 < t < b^{2}-a^{2}] 구간에서 [eqn: g(t) geq 2]이어야 한다.

이 구간에서 [eqn: g_{2}(t) = 0]이므로 [eqn: g_{1}(t) = 2]이어야 하고, 따라서 [eqn: b geq b^{2}-a^{2}]이다.

[eqn: g(t)]가 불연속이 될 수 있는 [eqn: t]의 값은 [eqn: b^{2}-a^{2}], [eqn: b], [eqn: b^{2}]이다.

조건 (가)에서 좌극한과 우극한의 차이가 [eqn: 2]인 [eqn: t]의 값을 찾으면 [eqn: t = b^{2}-a^{2}]이다.

[eqn: lim from {t -> (b^{2}-a^{2})-} g(t) = 2 + 0 = 2], [eqn: lim from {t -> (b^{2}-a^{2})+} g(t) = 2 + 2 = 4]

∴ [eqn: alpha = b^{2}-a^{2}]

조건 (나)에서 [eqn: lim from {t -> beta -} g(t) - lim from {t -> beta +} g(t) + 1 = g(beta)]를 만족하는 [eqn: t]의 값을 찾으면 [eqn: t = b^{2}]이다.

[eqn: lim from {t -> (b^{2})-} g(t) = 1 + 2 = 3], [eqn: lim from {t -> (b^{2})+} g(t) = 1 + 1 = 2], [eqn: g(b^{2}) = 1 + 1 = 2]

∴ [eqn: beta = b^{2}]

조건 (다)에서 [eqn: g(alpha) = 3], [eqn: g(beta) = 2]이므로 [eqn: g(alpha) neq g(beta)]를 만족한다.

[eqn: f left ( {1} over {2} right ) = alpha]에서 [eqn: {1} over {2} > 0]이므로

[eqn: left ( {1} over {2} right )^{2} - 2a left ( {1} over {2} right ) + b^{2} = b^{2} - a^{2}], [eqn: {1} over {4} - a = -a^{2}]

[eqn: a^{2} - a + {1} over {4} = 0], [eqn: left ( a - {1} over {2} right )^{2} = 0] ∴ [eqn: a = {1} over {2}]

[eqn: alpha + 24 beta = 30]에서 [eqn: (b^{2} - a^{2}) + 24b^{2} = 30], [eqn: 25b^{2} - {1} over {4} = 30]

[eqn: 25b^{2} = {121} over {4}], [eqn: b^{2} = {121} over {100}]

[eqn: b > 0]이므로 [eqn: b = {11} over {10}]

[eqn: f(-2)= LEFT | -a(-2) ^{2} +b RIGHT | = LEFT | -4 LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) + {11} over {10} RIGHT | = {9} over {10}]

[eqn: f(1) = 1^{2} - 2a(1) + b^{2} = 1 - 1 + {121} over {100} = {121} over {100}]

[eqn: f(-2) + f(1) = {90} over {100} + {121} over {100} = {211} over {100}]

[eqn: p=100], [eqn: q=211]이고 두 수는 서로소이므로 [eqn: p+q = 311]

따라서 정답은 [eqn: 311]이다.