수학ETF	2023_고2_6월	기출문제
	1~30

[eqn: left ( 3^{2+sqrt{2}} right )^{2-sqrt{2}}]의 값은?

③

지수법칙에 의해

[eqn: left ( 3^{2+sqrt{2}} right )^{2-sqrt{2}} = 3^{(2+sqrt{2})(2-sqrt{2})}][eqn: = 3^{2^{2} - (sqrt{2})^{2}}][eqn: = 3^{4-2}][eqn: = 3^{2}][eqn: = 9]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 81]

[eqn: {log_{4}64} over {log_{4}8}]의 값은?

②

밑의 변환 공식에 의해 [eqn: {log_{4}64} over {log_{4}8} = log_{8}64]

[eqn: 64 = 8^{2}]이므로 [eqn: log_{8}64 = log_{8}8^{2} = 2]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

반지름의 길이가 [eqn: 4]이고 중심각의 크기가 [eqn: {5} over {12} pi]인 부채꼴의 넓이는?

①

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r], 중심각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: r = 4], [eqn: theta = {5} over {12} pi]이다.

부채꼴의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = {1} over {2} r^{2} theta][eqn: = {1} over {2} times 4^{2} times {5} over {12} pi][eqn: = {1} over {2} times 16 times {5} over {12} pi][eqn: = 8 times {5} over {12} pi][eqn: = {10} over {3} pi]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {10} over {3} pi]	② [eqn: {11} over {3} pi]	③ [eqn: 4 pi]

④ [eqn: {13} over {3} pi]	⑤ [eqn: {14} over {3} pi]

[eqn: - {pi} over {2} < x < {pi} over {2}]일 때, 방정식 [eqn: 2 sin x - 1 = 0]의 해는?

④

주어진 방정식 [eqn: 2 sin x - 1 = 0]에서

[eqn: 2 sin x = 1], [eqn: sin x = {1} over {2}]

[eqn: - {pi} over {2} < x < {pi} over {2}]이므로 [eqn: x = {pi} over {6}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: - {pi} over {3}]	② [eqn: - {pi} over {6}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {pi} over {6}]	⑤ [eqn: {pi} over {3}]

다음은 상용로그표의 일부이다.
위의 표를 이용하여 [eqn: log 619]의 값을 구한 것은?

④

주어진 상용로그표에서 가로줄의 수가 [eqn: 6.1]이고 세로줄의 수가 [eqn: 9]인 곳의 값을 찾으면 [eqn: log 6.19 = 0.7917]이다.

로그의 성질에 의해 [eqn: log 619 = log (6.19 times 10^{2})]

[eqn: = log 6.19 + log 10^{2}][eqn: = 0.7917 + 2][eqn: = 2.7917]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 1.7910]	② [eqn: 1.7917]	③ [eqn: 2.7903]

④ [eqn: 2.7917]	⑤ [eqn: 3.7903]

[eqn: rmoverline {AB} = 3], [eqn: rmoverline {AC} = 6]이고 [eqn: cos A = {5} over {9}]인 삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmBC]의 길이는?

③

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rmBC}} ^{2} = {bar{rmAB}} ^{2} + {bar{rmAC}} ^{2} -2 TIMES {bar{rmAB}} TIMES {bar{rmAC}} TIMES cosA]

주어진 조건에서 [eqn: rmoverline{AB} = 3], [eqn: rmoverline{AC} = 6], [eqn: cos A = {5} over {9}]이므로

[eqn: {bar{rmBC}} ^{2} =3 ^{2} +6 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 6 TIMES {5} over {9}]

[eqn: {bar{rmBC}} ^{2} =9+36-20=25]

길이는 양수이므로 [eqn: rmoverline{BC} > 0]에서 [eqn: rmoverline{BC} = 5]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: y=2^{x+a}+b]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, 직선 [eqn: y=3]은 함수의 그래프의 점근선이다.)

②

함수 [eqn: y = 2^{x+a} + b]의 점근선의 방정식은 [eqn: y = b]이다.

그래프에서 점근선이 [eqn: y = 3]이므로 [eqn: b = 3]

따라서 함수는 [eqn: y = 2^{x+a} + 3]이다.

이 함수의 그래프가 점 [eqn: (0, 5)]를 지나므로

[eqn: 5 = 2^{0+a} + 3], [eqn: 2^{a} = 2] ∴ [eqn: a = 1]

따라서 [eqn: a+b = 1+3 = 4]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y=log_{2}x+1]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동한 후 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하였더니 함수 [eqn: y=2^{x-1}+5]의 그래프와 일치하였다. 상수 [eqn: a]의 값은?

⑤

함수 [eqn: y = log_{2}x + 1]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동하면 [eqn: y = log_{2}(x-a) + 1]

이 그래프를 직선 [eqn: y = x]에 대하여 대칭이동하면 [eqn: x]와 [eqn: y]가 서로 바뀌므로

[eqn: x = log_{2}(y-a) + 1], [eqn: x - 1 = log_{2}(y-a)]

로그의 정의에 의해

[eqn: y - a = 2^{x-1}], [eqn: y = 2^{x-1} + a]

이 함수의 그래프가 함수 [eqn: y = 2^{x-1} + 5]의 그래프와 일치하므로 [eqn: a = 5]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin theta = - {1} over {3}]일 때, [eqn: tan theta]의 값은?

④

[eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]이므로 [eqn: theta]는 제[eqn: 3]사분면의 각이다.

제[eqn: 3]사분면에서 [eqn: cos theta < 0], [eqn: tan theta > 0]이다.

삼각함수 사이의 관계에서 [eqn: sin^{2} theta + cos^{2} theta = 1]이므로

[eqn: left ( - {1} over {3} right )^{2} + cos^{2} theta = 1], [eqn: cos^{2} theta = 1 - {1} over {9} = {8} over {9}]

[eqn: cos theta < 0]이므로 [eqn: cos theta = - {2 sqrt{2}} over {3}]

[eqn: tan theta = {sin theta} over {cos theta}]이므로

[eqn: tan theta = left ( - {1} over {3} right ) times left ( - {3} over {2 sqrt{2}} right ) = {1} over {2 sqrt{2}} = {sqrt{2}} over {4}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: - {sqrt{3}} over {4}]	② [eqn: - {sqrt{2}} over {4}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {sqrt{2}} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt{3}} over {4}]

세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: y=a sin bx+c]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a times b times c]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])

⑤

주어진 그래프에서 함수의 최댓값은 [eqn: 5]이고 최솟값은 [eqn: 1]이다.

[eqn: a>0]이므로

[eqn: a+c=5] ……①, [eqn: -a+c=1] ……②

①, ②를 연립하여 풀면

[eqn: 2c=6]에서 [eqn: c=3]이고 [eqn: a=2]이다.

또한, 그래프에서 [eqn: x=pi]일 때 최댓값을 가지고 [eqn: x=3pi]일 때 최솟값을 가지므로 주기의 절반은 [eqn: 3pi - pi = 2pi]이다.

따라서 함수의 주기는 [eqn: 4pi]이다.

[eqn: b>0]이므로 함수의 주기는 [eqn: {2pi} over {b}]에서 [eqn: {2pi} over {b} = 4pi] ∴ [eqn: b = {1} over {2}]

따라서 [eqn: a times b times c = 2 times {1} over {2} times 3 = 3]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 이 삼각형의 둘레의 길이가 [eqn: 12]일 때, [eqn: sin A + sin B + sin(A+B)]의 값은?

①

삼각형 [eqn: rmABC]의 세 내각의 크기의 합은 [eqn: pi]이므로

[eqn: A + B + C = pi]에서 [eqn: A + B = pi - C]

∴ [eqn: sin(A+B) = sin( pi - C) = sin C]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면 [eqn: R = 4]이고, 사인법칙에 의해

[eqn: sin A = {a} over {2R}], [eqn: sin B = {b} over {2R}], [eqn: sin C = {c} over {2R}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이가 [eqn: 12]이므로 [eqn: a + b + c = 12]

구하는 식에 대입하면

[eqn: sin A + sin B + sin(A+B) = sin A + sin B + sin C]

[eqn: = {a} over {2R} + {b} over {2R} + {c} over {2R}][eqn: = {a + b + c} over {2R}][eqn: = {12} over {2 times 4}][eqn: = {12} over {8} = {3} over {2}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {8} over {5}]	③ [eqn: {17} over {10}]

④ [eqn: {9} over {5}]	⑤ [eqn: {19} over {10}]

함수 [eqn: f(x)=3^{x-2}+a]의 역함수의 그래프가 점 [eqn: (a+5,`a+2)]를 지날 때, [eqn: 3^{a}]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

①

함수 [eqn: f(x)]의 역함수의 그래프가 점 [eqn: (a+5, a+2)]를 지나므로

[eqn: f^{-1}(a+5) = a+2]

역함수의 성질에 의해 [eqn: f(a+2) = a+5]

[eqn: f(x) = 3^{x-2} + a]에 [eqn: x = a+2]를 대입하면

[eqn: f(a+2) = 3^{(a+2)-2} + a = 3^{a} + a]

즉, [eqn: 3^{a} + a = a+5]이므로 [eqn: 3^{a} = 5]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

부등식
[eqn: left ( 2^{x} - 8 right ) left ( {1} over {3^{x}} - 9 right ) geq 0]
을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는?

①

주어진 부등식을 밑이 같은 지수 형태로 정리하면

[eqn: left ( 2^{x} - 2^{3} right ) left ( 3^{-x} - 3^{2} right ) geq 0]

두 식의 곱이 [eqn: 0] 이상이므로 두 식의 부호가 같아야 한다.

(ⅰ) [eqn: 2^{x} - 2^{3} geq 0]이고 [eqn: 3^{-x} - 3^{2} geq 0]인 경우

[eqn: 2^{x} geq 2^{3}]에서 밑이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: x geq 3]

[eqn: 3^{-x} geq 3^{2}]에서 밑이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: -x geq 2], 즉 [eqn: x leq -2]

이를 동시에 만족시키는 실수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: 2^{x} - 2^{3} leq 0]이고 [eqn: 3^{-x} - 3^{2} leq 0]인 경우

[eqn: 2^{x} leq 2^{3}]에서 밑이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: x leq 3]

[eqn: 3^{-x} leq 3^{2}]에서 밑이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: -x leq 2], 즉 [eqn: x geq -2]

이를 동시에 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는

[eqn: -2 leq x leq 3]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로 그 개수는 [eqn: 6]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

등식
[eqn: left ( {root {6} of {5}} over {root {4} of {2}} right )^{m} times n = 100]
을 만족시키는 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값은?

③

주어진 등식의 거듭제곱근을 지수 형태로 변환하면

[eqn: root {6} of {5} = 5^{{1} over {6}}], [eqn: root {4} of {2} = 2^{{1} over {4}}]이므로 [eqn: left ( {5^{{1} over {6}}} over {2^{{1} over {4}}} right )^{m} times n = 100]

[eqn: 5^{{m} over {6}} times 2^{-{m} over {4}} times n = 2^{2} times 5^{2}]

[eqn: n]에 대하여 정리하면 [eqn: n = 2^{2 + {m} over {4}} times 5^{2 - {m} over {6}}]

[eqn: m], [eqn: n]이 자연수이므로 [eqn: 2 + {m} over {4}]와 [eqn: 2 - {m} over {6}]은 모두 음이 아닌 정수이어야 한다.

[eqn: 2 - {m} over {6} geq 0]에서 [eqn: m leq 12]

또한 [eqn: 2 + {m} over {4}]와 [eqn: 2 - {m} over {6}]이 정수이려면 [eqn: m]은 [eqn: 4]의 배수이면서 [eqn: 6]의 배수이어야 하므로 [eqn: 12]의 배수이다.

자연수 [eqn: m]의 범위가 [eqn: m leq 12]이므로 조건을 만족하는 [eqn: m]은 [eqn: 12]이다.

[eqn: m = 12]를 대입하면 [eqn: n = 2^{2 + 3} times 5^{2 - 2} = 2^{5} times 5^{0} = 32]

∴ [eqn: m + n = 12 + 32 = 44]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

[eqn: - {3} over {2} pi leq x leq {3} over {2} pi]에서 정의된 함수
[eqn: f(x) = a cos {2} over {3} x + a] ([eqn: a > 0])
이 있다. 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 직선 [eqn: y = {a} over {2}]와 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형일 때, [eqn: a]의 값은?

⑤

함수 [eqn: f(x) = a cos {2} over {3} x + a]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표는

[eqn: f(0) = a cos 0 + a = 2a]이므로 [eqn: rmA(0,`2a)]

함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y = {a} over {2}]와 만나는 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: a cos {2} over {3} x + a = {a} over {2}]에서 [eqn: a cos {2} over {3} x = - {a} over {2}]

[eqn: a > 0]이므로 [eqn: cos {2} over {3} x = - {1} over {2}]

[eqn: - {3} over {2} pi leq x leq {3} over {2} pi]에서 [eqn: - pi leq {2} over {3} x leq pi]이므로

[eqn: {2} over {3} x = - {2} over {3} pi] 또는 [eqn: {2} over {3} x = {2} over {3} pi]

∴ [eqn: x = - pi] 또는 [eqn: x = pi]

그래프에서 점 [eqn: rmB]는 [eqn: y]축의 왼쪽에, 점 [eqn: rmC]는 [eqn: y]축의 오른쪽에 위치하므로

[eqn: rmB LEFT ( it-pi,` {a} over {2} RIGHT )], [eqn: rmC`it LEFT ( pi,` {a} over {2} RIGHT )]

삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형이므로 선분 [eqn: rmBC]의 길이는

[eqn: pi - (- pi) = 2 pi]

정삼각형 [eqn: rmABC]의 높이는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표에서 직선 [eqn: y = {a} over {2}]까지의 거리이므로 [eqn: 2a - {a} over {2} = {3} over {2} a]

한 변의 길이가 [eqn: 2 pi]인 정삼각형의 높이는 [eqn: {sqrt{3}} over {2} times 2 pi = sqrt{3} pi]이므로 [eqn: {3} over {2} a = sqrt{3} pi]

∴ [eqn: a = {2 sqrt{3}} over {3} pi]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {sqrt{3}} over {3} pi]	② [eqn: {5 sqrt{3}} over {12} pi]	③ [eqn: {sqrt{3}} over {2} pi]

④ [eqn: {7 sqrt{3}} over {12} pi]	⑤ [eqn: {2 sqrt{3}} over {3} pi]

[eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: t]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=log_{2}x], [eqn: y=log_{4}x]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: S(1)=1] ㄴ. [eqn: S(2)=64 times S(-2)] ㄷ. [eqn: t>0]일 때, [eqn: t]의 값이 증가하면 [eqn: {S(t)} over {S(-t)}] 의 값도 증가한다.

⑤

두 곡선 [eqn: y = log_{2}x], [eqn: y = log_{4}x]와 직선 [eqn: y = t]가 만나는 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표를 구한다.

[eqn: y = log_{2}x = t]에서 [eqn: x = 2^{t}]이므로 [eqn: P(2^{t}, t)]

[eqn: y = log_{4}x = t]에서 [eqn: x = 4^{t}]이므로 [eqn: Q(4^{t}, t)]

선분 [eqn: rmPQ]의 길이는 [eqn: left | 4^{t} - 2^{t} right |]이고, 원점 [eqn: rmO]에서 직선 [eqn: y=t]까지의 거리는 [eqn: left | t right |]이므로 삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이 [eqn: S(t)]는

[eqn: S(t) = {1} over {2} times left | 4^{t} - 2^{t} right | times left | t right |]

ㄱ. [eqn: S(1) = {1} over {2} times left | 4^{1} - 2^{1} right | times left | 1 right | = {1} over {2} times 2 times 1 = 1]

따라서 참이다.

ㄴ. [eqn: S(2) = {1} over {2} times left | 4^{2} - 2^{2} right | times left | 2 right | = {1} over {2} times 12 times 2 = 12]

[eqn: S(-2) = {1} over {2} times left | 4^{-2} - 2^{-2} right | times left | -2 right | = {1} over {2} times left | {1} over {16} - {1} over {4} right | times 2 = {3} over {16}]

[eqn: 64 times S(-2) = 64 times {3} over {16} = 12]

따라서 [eqn: S(2) = 64 times S(-2)]이므로 참이다.

ㄷ. [eqn: t>0]일 때, [eqn: 4^{t} > 2^{t}]이므로 [eqn: left | 4^{t} - 2^{t} right | = 4^{t} - 2^{t}]이고 [eqn: left | t right | = t]이다.

[eqn: S(t) = {1} over {2} (4^{t} - 2^{t}) t]

[eqn: S(-t) = {1} over {2} left | 4^{-t} - 2^{-t} right | left | -t right |]

[eqn: t>0]이므로 [eqn: 2^{-t} > 4^{-t}]에서 [eqn: left | 4^{-t} - 2^{-t} right | = 2^{-t} - 4^{-t}]이고 [eqn: left | -t right | = t]이다.

[eqn: S(-t) = {1} over {2} (2^{-t} - 4^{-t}) t]

[eqn: {S(t)} over {S(-t)} = { {1} over {2} (4^{t} - 2^{t}) t } over { {1} over {2} (2^{-t} - 4^{-t}) t } = { 4^{t} - 2^{t} } over { 2^{-t} - 4^{-t} }]

분모를 통분하면 [eqn: 2^{-t} - 4^{-t} = {1} over {2^{t}} - {1} over {4^{t}} = {2^{t} - 1} over {4^{t}}]

분자를 인수분해하면 [eqn: 4^{t} - 2^{t} = 2^{t}(2^{t} - 1)]

∴ [eqn: {S(t)} over {S(-t)} = { 2^{t}(2^{t} - 1) } over { {2^{t} - 1} over {4^{t}} } = 2^{t} times 4^{t} = 8^{t}]

지수함수 [eqn: y = 8^{t}]는 밑이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: t]의 값이 증가하면 [eqn: 8^{t}]의 값도 증가한다.

따라서 참이다.

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이므로 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면에서 곡선 [eqn: y = sqrt{x}] ([eqn: x > 0]) 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos^{2} theta - 2 sin^{2} theta = -1]일 때, 선분 [eqn: rmOP]의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: x]축의 양의 방향을 시초선으로 한다.)

③

[eqn: cos^{2} theta - 2 sin^{2} theta = -1]에서 [eqn: cos^{2} theta = 1 - sin^{2} theta]이므로

[eqn: (1 - sin^{2} theta) - 2 sin^{2} theta = -1], [eqn: 3 sin^{2} theta = 2]

∴ [eqn: sin^{2} theta = {2} over {3}]

[eqn: cos^{2} theta = 1 - {2} over {3} = {1} over {3}], [eqn: tan^{2} theta = {sin^{2} theta} over {cos^{2} theta} = {{2} over {3}} over {{1} over {3}} = 2]

점 [eqn: rmP]는 곡선 [eqn: y = sqrt{x}] ([eqn: x > 0]) 위의 점이므로 [eqn: rmP LEFT ( itx,` sqrt {x} RIGHT )]라 하면

동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 각의 크기가 [eqn: theta]이므로 삼각함수의 정의에 의해

[eqn: tan theta = {sqrt{x}} over {x} = {1} over {sqrt{x}}], [eqn: tan^{2} theta = {1} over {x} = 2]이므로 [eqn: x = {1} over {2}]

점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: left ( {1} over {2}, {sqrt{2}} over {2} right )]이므로

선분 [eqn: rmOP]의 길이는

[eqn: sqrt{left ( {1} over {2} right )^{2} + left ( {sqrt{2}} over {2} right )^{2}} = sqrt{{1} over {4} + {2} over {4}} = sqrt{{3} over {4}} = {sqrt{3}} over {2}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt{2}} over {2}]	③ [eqn: {sqrt{3}} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {sqrt{5}} over {2}]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=2^{x+1}], [eqn: y=2^{-x+1}]과 세 점 [eqn: rm A(-1,`1)], [eqn: rm B(1,`1)], [eqn: rm C(0,`2)]가 있다. 실수 [eqn: k(1<k<2)]에 대하여 두 곡선
[eqn: y=2^{x+1}], [eqn: y=2^{-x+1}]
과 직선 [eqn: y=k]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], 직선 [eqn: y=2k]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rmG]라 하자. 사각형 [eqn: rmABED]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmCFG]의 넓이가 같을 때, [eqn: k]의 값은?

④

점 [eqn: rmA(-1, 1)], [eqn: rmB(1, 1)]에서 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: 2]이다.

직선 [eqn: y=k]와 두 곡선 [eqn: y=2^{x+1}], [eqn: y=2^{-x+1}]이 만나는 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 2^{x+1} = k]에서 [eqn: x = log_{2} k - 1]

[eqn: 2^{-x+1} = k]에서 [eqn: x = 1 - log_{2} k]

[eqn: 1 < k < 2]에서 [eqn: log_{2} k - 1 < 0], [eqn: 1 - log_{2} k > 0]이므로

선분 [eqn: rmDE]의 길이는 [eqn: (1 - log_{2} k) - (log_{2} k - 1) = 2 - 2log_{2} k]

사각형 [eqn: rmABED]는 사다리꼴이므로 그 넓이를 [eqn: S_{1}]이라 하면

[eqn: S_{1} = {1} over {2} times left ( 2 + 2 - 2log_{2} k right ) times (k - 1) = (2 - log_{2} k)(k - 1)]

직선 [eqn: y=2k]와 두 곡선 [eqn: y=2^{x+1}], [eqn: y=2^{-x+1}]이 만나는 점 [eqn: rmF], [eqn: rmG]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 2^{x+1} = 2k]에서 [eqn: x = log_{2} k]

[eqn: 2^{-x+1} = 2k]에서 [eqn: x = -log_{2} k]

선분 [eqn: rmFG]의 길이는 [eqn: log_{2} k - (-log_{2} k) = 2log_{2} k]

삼각형 [eqn: rmCFG]의 넓이를 [eqn: S_{2}]라 하면, 점 [eqn: rmC(0, 2)]에서 직선 [eqn: y=2k]까지의 거리가 높이이므로

[eqn: S_{2} = {1} over {2} times 2log_{2} k times (2k - 2) = 2(k - 1)log_{2} k]

[eqn: S_{1} = S_{2}]이므로

[eqn: (2 - log_{2} k)(k - 1) = 2(k - 1)log_{2} k]

[eqn: 1 < k < 2]에서 [eqn: k - 1 neq 0]이므로 양변을 [eqn: k - 1]로 나누면

[eqn: 2 - log_{2} k = 2log_{2} k], [eqn: 3log_{2} k = 2], [eqn: log_{2} k = {2} over {3}] ∴ [eqn: k = 2^{2 over 3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 2^{1 over 6}]	② [eqn: 2^{1 over 3}]	③ [eqn: 2^{1 over 2}]

④ [eqn: 2^{2 over 3}]	⑤ [eqn: 2^{5 over 6}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmO]라 하고, 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 점 [eqn: rmA]를 지나고 선분 [eqn: rmOC]와 평행한 직선과 호 [eqn: rmAB]의 교점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmOC]와 선분 [eqn: rmBP]의 교점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmQ]를 지나고 선분 [eqn: rmPO]와 평행한 직선과 선분 [eqn: rmOB]의 교점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmangle CAB = theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmQDB]의 넓이를 [eqn: S(theta)], 삼각형 PQC의 넓이를 [eqn: T(theta)]라 하자. 다음은 [eqn: S(theta)]와 [eqn: T(theta)]를 구하는 과정이다. (단, [eqn: 0 < theta < {pi} over {4}])

[eqn: rmangle CAB = theta]이므로 [eqn: rmangle COB = 2 theta]이다.

삼각형 [eqn: rmPOB]가 이등변삼각형이고 [eqn: rmangle OQB = {pi} over {2}]이므로

점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmPB]의 중점이고 [eqn: rmangle POQ = 2 theta]이다.

선분 [eqn: rmPO]와 선분 [eqn: rmQD]가 평행하므로

삼각형 [eqn: rmPOB]와 삼각형 [eqn: rmQDB]는 닮음이다.

따라서 [eqn: rmbarQD`= {BOX{```(가)```}}] 이고 [eqn: rmangleQDB`= {BOX{```(나)```}}] 이므로

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT ) = {1} over {2} TIMES {BOX{```(가)```}} TIMES 1 TIMES sin LEFT ( ` {BOX{```(나)```}} ` RIGHT )]

이다. [eqn: rmoverline{CQ} = overline{CO} - overline{QO}]이므로

[eqn: T LEFT ( theta RIGHT ) = {1} over {2} TIMES rmbarPQ` TIMES rmbarCQ`=sin`2theta TIMES LEFT ( 2- {BOX{```(다)```}} RIGHT )]이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(theta)], [eqn: g(theta)]라 할 때, [eqn: p TIMES f LEFT ( {pi} over {16} RIGHT ) TIMES g LEFT ( {pi} over {8} RIGHT )]의 값은?

①

반원의 지름이 [eqn: 4]이므로 반지름의 길이는 [eqn: 2]이고 [eqn: rmoverline{OP} = 2]이다.

삼각형 [eqn: rmPOB]와 삼각형 [eqn: rmQDB]는 닮음이고 점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmPB]의 중점이므로 닮음비는 [eqn: 2 : 1]이다.

[eqn: rmoverline{QD} = {1} over {2} times overline{OP} = {1} over {2} times 2 = 1]

∴ (가)에 알맞은 수 [eqn: p = 1]

선분 [eqn: rmPO]와 선분 [eqn: rmQD]가 평행하므로 동위각의 크기가 같아 [eqn: rmangle QDB = angle POB]이다.

삼각형 [eqn: rmPOB]는 이등변삼각형이고 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmPB]의 중점이므로 선분 [eqn: rmOQ]는 [eqn: rmangle POB]를 이등분한다.

[eqn: rmangle POQ = 2 theta]이므로 [eqn: rmangle POB = 2 times 2 theta = 4 theta]이다.

∴ (나)에 알맞은 식 [eqn: f(theta) = 4 theta]

직각삼각형 [eqn: rmOQB]에서 [eqn: rmangle QOB = 2 theta]이고 [eqn: rmoverline{OB} = 2]이므로 [eqn: rmoverline{QO} = 2 cos 2 theta]이다.

[eqn: rmoverline{CQ} = overline{CO} - overline{QO} = 2 - 2 cos 2 theta]이다.

문제의 조건에서 [eqn: T(theta) = sin 2 theta times (2 - (다))]이므로

∴ (다)에 알맞은 식 [eqn: g(theta) = 2 cos 2 theta]

[eqn: p TIMES f LEFT ( {pi} over {16} RIGHT ) TIMES g LEFT ( {pi} over {8} RIGHT ) =1 TIMES LEFT ( 4 TIMES {pi } over {16} RIGHT ) TIMES 2cos LEFT ( 2 TIMES {pi } over {8} RIGHT )]

[eqn: = {pi} over {4} times 2 cos left ( {pi} over {4} right )][eqn: = {pi} over {4} times 2 times {sqrt{2}} over {2}][eqn: = {sqrt{2}} over {4} pi]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {sqrt{2}} over {4} pi]	② [eqn: {sqrt{2}} over {5} pi]	③ [eqn: {sqrt{2}} over {6} pi]

④ [eqn: {sqrt{2}} over {7} pi]	⑤ [eqn: {sqrt{2}} over {8} pi]

[eqn: 1]이 아닌 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a < b < a^{2}]

(나) [eqn: log_{a}b]는 유리수이다.

[eqn: log a < {3} over {2}]일 때, [eqn: a+b]의 최댓값은?

②

조건 (가)에서 [eqn: a < b < a^{2}]이고 [eqn: a > 1]이므로 각 변에 밑이 [eqn: a]인 로그를 취하면

[eqn: 1 < log_{a}b < 2] ……①

조건 (나)에서 [eqn: log_{a}b]는 유리수이므로 서로소인 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: log_{a}b = {q} over {p}]라 하면

①에서 [eqn: 1 < {q} over {p} < 2]이므로 [eqn: p < q < 2p]이다.

[eqn: log_{a}b = {q} over {p}]에서 [eqn: b = a^{{q} over {p}}]이므로 [eqn: b^{p} = a^{q}]이다.

[eqn: p], [eqn: q]는 서로소이므로 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]가 이 식을 만족시키려면 어떤 자연수 [eqn: k] ([eqn: k geq 2])에 대하여 [eqn: a = k^{p}], [eqn: b = k^{q}]이어야 한다.

[eqn: log a < {3} over {2}]에서 [eqn: a < 10^{{3} over {2}} = 10 sqrt{10} = sqrt{1000}]이다.

[eqn: 31^{2} = 961], [eqn: 32^{2} = 1024]이므로 자연수 [eqn: a]의 범위는 [eqn: a leq 31]이다.

[eqn: a+b = k^{p} + k^{q}]의 최댓값을 구하기 위해 [eqn: p]의 값을 나누어 생각한다.

(ⅰ) [eqn: p=2]일 때

[eqn: 2 < q < 4]이므로 [eqn: q=3]이다.

[eqn: a = k^{2} leq 31]을 만족하는 최대 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 5]이다.

[eqn: k=5]일 때 [eqn: a = 25], [eqn: b = 125]이므로 [eqn: a+b = 150]이다.

(ⅱ) [eqn: p=3]일 때

[eqn: 3 < q < 6]이므로 [eqn: q=4] 또는 [eqn: q=5]이다.

[eqn: a = k^{3} leq 31]을 만족하는 최대 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 3]이다.

[eqn: q=4], [eqn: k=3]일 때 [eqn: a = 27], [eqn: b = 81]이므로 [eqn: a+b = 108]이다.

[eqn: q=5], [eqn: k=3]일 때 [eqn: a = 27], [eqn: b = 243]이므로 [eqn: a+b = 270]이다.

(ⅲ) [eqn: p=4]일 때

[eqn: 4 < q < 8]이고 [eqn: p], [eqn: q]는 서로소이므로 [eqn: q=5] 또는 [eqn: q=7]이다.

[eqn: a = k^{4} leq 31]을 만족하는 최대 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 2]이다.

[eqn: q=7], [eqn: k=2]일 때 [eqn: a = 16], [eqn: b = 128]이므로 [eqn: a+b = 144]이다.

(ⅳ) [eqn: p geq 5]일 때

[eqn: k geq 2]이면 [eqn: a = k^{p} geq 2^{5} = 32]가 되어 [eqn: a leq 31]을 만족시키지 않는다.

따라서 (ⅰ)~(ⅳ)에서 [eqn: a+b]의 최댓값은 [eqn: 270]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 250]	② [eqn: 270]	③ [eqn: 290]

④ [eqn: 310]	⑤ [eqn: 330]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {n-1} over {6} pi leq x leq {n+2} over {6} pi]에서 함수
[eqn: f(x) = left | sin x - {1} over {2} right |]
의 최댓값을 [eqn: g(n)]이라 하자. [eqn: 40] 이하의 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: g(k)]가 무리수가 되도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

⑤

구간 [eqn: left [ {n-1} over {6} pi, {n+2} over {6} pi right ]]의 길이는 [eqn: {n+2} over {6} pi - {n-1} over {6} pi = {pi} over {2}]이다.

함수 [eqn: f(x) = left | sin x - {1} over {2} right |]는 주기가 [eqn: 2 pi]인 함수이므로, [eqn: g(n)]은 [eqn: n]에 대하여 주기가 [eqn: 12]인 수열을 이룬다.

[eqn: n=1]부터 [eqn: 12]까지 [eqn: g(n)]의 값을 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n=1, 2, 3, 4]일 때, 구간 내에서 [eqn: sin x]의 값의 범위는 [eqn: 0 leq sin x leq 1]이므로 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: g(n) = {1} over {2}]이다.

(ⅱ) [eqn: n=5]일 때, 구간 [eqn: left [ {2} over {3} pi, {7} over {6} pi right ]]에서 [eqn: sin x]의 최솟값은 [eqn: x = {7} over {6} pi]일 때 [eqn: - {1} over {2}]이므로 [eqn: f(x)]는 최댓값 [eqn: g(5) = 1]을 갖는다.

(ⅲ) [eqn: n=6]일 때, 구간 [eqn: left [ {5} over {6} pi, {4} over {3} pi right ]]에서 [eqn: sin x]의 최솟값은 [eqn: x = {4} over {3} pi]일 때 [eqn: - {sqrt{3}} over {2}]이므로 [eqn: f(x)]는 최댓값 [eqn: g(6) = {sqrt{3} + 1} over {2}]을 갖는다. (무리수)

(ⅳ) [eqn: n=7, 8, 9, 10]일 때, 구간 내에서 [eqn: sin x]의 최솟값은 [eqn: -1]이므로 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: g(n) = {3} over {2}]이다.

(ⅴ) [eqn: n=11]일 때, 구간 [eqn: left [ {5} over {3} pi, {13} over {6} pi right ]]에서 [eqn: sin x]의 최솟값은 [eqn: x = {5} over {3} pi]일 때 [eqn: - {sqrt{3}} over {2}]이므로 [eqn: f(x)]는 최댓값 [eqn: g(11) = {sqrt{3} + 1} over {2}]을 갖는다. (무리수)

(ⅵ) [eqn: n=12]일 때, 구간 [eqn: left [ {11} over {6} pi, {7} over {3} pi right ]]에서 [eqn: sin x]의 최솟값은 [eqn: x = {11} over {6} pi]일 때 [eqn: - {1} over {2}]이므로 [eqn: f(x)]는 최댓값 [eqn: g(12) = 1]을 갖는다.

따라서 [eqn: g(n)]이 무리수가 되는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 12]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 6] 또는 [eqn: 11]인 수이다.

[eqn: 40] 이하의 자연수 [eqn: k]에 대하여 조건을 만족하는 [eqn: k]의 값은

[eqn: k = 6, 18, 30]

[eqn: k = 11, 23, 35]

∴ 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 6 + 18 + 30 + 11 + 23 + 35 = 123]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 115]	② [eqn: 117]	③ [eqn: 119]

④ [eqn: 121]	⑤ [eqn: 123]

[eqn: root {3} of {27^{2}} times 3^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 81]

[eqn: 27 = 3^{3}]이므로 [eqn: root {3} of {27^{2}} = root {3} of { (3^{3})^{2} } = root {3} of { 3^{6} } = 3^{ {6} over {3} } = 3^{2}]

주어진 식은 [eqn: root {3} of {27^{2}} times 3^{2} = 3^{2} times 3^{2} = 3^{2+2} = 3^{4} = 81]

따라서 정답은 [eqn: 81]이다.

방정식 [eqn: log_{{1} over {2}} (x+3)=-4]의 해를 구하시오.

[eqn: 13]

로그의 진수 조건에서 [eqn: x+3 > 0]이므로 [eqn: x > -3] ……①

주어진 방정식 [eqn: log_{{1} over {2}} (x+3)=-4]에서 로그의 정의에 의해

[eqn: x+3 = left ( {1} over {2} right )^{-4}], [eqn: x+3 = 2^{4}], [eqn: x+3 = 16], [eqn: x = 13]

이는 조건 ①을 만족한다.

따라서 정답은 [eqn: 13]이다.

두 함수 [eqn: y=cos {2} over {3} x]와 [eqn: y=tan {3} over {a} x]의 주기가 같을 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 9]

함수 [eqn: y = cos {2} over {3} x]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {{2} over {3}} = 3 pi]이다.

함수 [eqn: y = tan {3} over {a} x]의 주기는 [eqn: {pi} over {left | {3} over {a} right |}]이고, [eqn: a > 0]이므로 [eqn: {a pi} over {3}]이다.

두 함수의 주기가 같으므로 [eqn: 3 pi = {a pi} over {3}] ∴ [eqn: a = 9]

따라서 정답은 [eqn: 9]이다.

함수 [eqn: f(x)=4cos(x+pi)+k]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {pi } over {3} ,`5 RIGHT )]를 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

함수 [eqn: f(x) = 4cos(x+pi) + k]의 그래프가 점 [eqn: left ( {pi} over {3}, 5 right )]를 지나므로

[eqn: f left ( {pi} over {3} right ) = 5]에서 [eqn: 4cos left ( {pi} over {3} + pi right ) + k = 5]

이때 [eqn: cos left ( {pi} over {3} + pi right ) = -cos left ( {pi} over {3} right ) = - {1} over {2}]이므로

[eqn: 4 times left ( - {1} over {2} right ) + k = 5], [eqn: -2 + k = 5] ∴ [eqn: k = 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

등식
[eqn: (3^{a}+3^{-a})^{2}=2(3^{a}+3^{-a})+8]
을 만족시키는 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 27^{a}+27^{-a}]의 값을 구하시오.

[eqn: 52]

[eqn: 3^{a}+3^{-a} = t]라 하면 [eqn: 3^{a} > 0], [eqn: 3^{-a} > 0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해

[eqn: t = 3^{a}+3^{-a} geq 2 sqrt{3^{a} times 3^{-a}} = 2]

주어진 등식은 [eqn: t^{2} = 2t + 8]

[eqn: t^{2} - 2t - 8 = 0], [eqn: (t-4)(t+2) = 0]

[eqn: t geq 2]이므로 [eqn: t = 4]

즉, [eqn: 3^{a}+3^{-a} = 4]

구하는 값은 [eqn: 27^{a}+27^{-a} = (3^{a})^{3} + (3^{-a})^{3}]이므로 곱셈공식의 변형에 의해

[eqn: (3^{a})^{3} + (3^{-a})^{3} = (3^{a}+3^{-a})^{3} - 3 times 3^{a} times 3^{-a} (3^{a}+3^{-a})]

[eqn: = 4^{3} - 3 times 1 times 4][eqn: = 64 - 12 = 52]

따라서 정답은 [eqn: 52]이다.

자연수 전체의 집합의 두 부분집합
[eqn: A= LEFT { a,`b,`c RIGHT }], [eqn: B= LEFT { log _{2} a,`log _{2} b,`log _{2} c RIGHT }]
에 대하여 [eqn: a+b=24]이고 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합이 [eqn: 12]일 때, 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 서로 다른 세 자연수이다.)

[eqn: 56]

두 집합 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 자연수 전체의 집합의 부분집합이므로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]와 [eqn: log_{2}a], [eqn: log_{2}b], [eqn: log_{2}c]는 모두 자연수이다.

[eqn: log_{2}a], [eqn: log_{2}b], [eqn: log_{2}c]가 자연수이므로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 [eqn: 2]의 거듭제곱 꼴이다.

[eqn: a+b=24]이고 [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 2]의 거듭제곱 꼴이므로 [eqn: a=8], [eqn: b=16] 또는 [eqn: a=16], [eqn: b=8]이다.

집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합이 [eqn: 12]이므로

[eqn: log_{2}a + log_{2}b + log_{2}c = 12], [eqn: log_{2}(abc) = 12] ∴ [eqn: abc = 2^{12}]

[eqn: ab = 8 times 16 = 2^{3} times 2^{4} = 2^{7}]이므로

[eqn: 2^{7} times c = 2^{12}] ∴ [eqn: c = 2^{5} = 32]

따라서 집합 [eqn: A = left { 8, 16, 32 right }]이므로 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은 [eqn: 8+16+32=56]이다.

따라서 정답은 [eqn: 56]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0 leq x leq 4]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: sin pi x - {(-1)^{n+1}} over {n} = 0]
의 모든 실근의 합을 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5)]의 값을 구하시오.

[eqn: 35]

주어진 방정식은 [eqn: sin pi x = {(-1)^{n+1}} over {n}]이다.

함수 [eqn: y = sin pi x]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {pi} = 2]이므로 [eqn: 0 leq x leq 4]에서 그래프는 두 개의 주기를 갖는다.

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때

[eqn: (-1)^{n+1} = 1]이므로 방정식은 [eqn: sin pi x = {1} over {n}]이다.

[eqn: n=1]이면 [eqn: sin pi x = 1]이므로 [eqn: 0 leq x leq 4]에서 [eqn: x = {1} over {2}], [eqn: x = {5} over {2}]이다.

∴ [eqn: f(1) = {1} over {2} + {5} over {2} = 3]

[eqn: n=3, 5]이면 [eqn: 0 < {1} over {n} < 1]이므로 [eqn: y = sin pi x]의 그래프와 직선 [eqn: y = {1} over {n}]은 [eqn: 4]개의 교점을 갖는다.

각 주기에서 교점의 [eqn: x]좌표의 합은 대칭축 [eqn: x = {1} over {2}], [eqn: x = {5} over {2}]에 대하여 대칭이므로

[eqn: f(3) = f(5) = 2 times {1} over {2} + 2 times {5} over {2} = 6]

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때

[eqn: (-1)^{n+1} = -1]이므로 방정식은 [eqn: sin pi x = - {1} over {n}]이다.

[eqn: n=2, 4]이면 [eqn: -1 < - {1} over {n} < 0]이므로 [eqn: y = sin pi x]의 그래프와 직선 [eqn: y = - {1} over {n}]은 [eqn: 4]개의 교점을 갖는다.

각 주기에서 교점의 [eqn: x]좌표의 합은 대칭축 [eqn: x = {3} over {2}], [eqn: x = {7} over {2}]에 대하여 대칭이므로

[eqn: f(2) = f(4) = 2 times {3} over {2} + 2 times {7} over {2} = 10]

따라서 [eqn: f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 3 + 10 + 6 + 10 + 6 = 35]

따라서 정답은 [eqn: 35]이다.

그림과 같이 [eqn: rmoverline{AB}=overline{AC}=1], [eqn: rmangle BAC={pi} over {2}]인 삼각형 [eqn: rmABC] 모양의 종이가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD], 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmE], 선분 [eqn: rmAC] 위의 점 [eqn: rmF]에 대하여 선분 [eqn: rmEF]를 접는 선으로 하여 점 [eqn: rmA]가 점 [eqn: rmD]와 겹쳐지도록 접었다. 삼각형 [eqn: rmBDE]와 삼각형 [eqn: rmDCF]의 외접원의 반지름의 길이의 비가 [eqn: 2:1]일 때, 선분 [eqn: rmDF]의 길이는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 고려하지 않으며, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 17]

삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rmoverline{AB}=overline{AC}=1], [eqn: rmangle BAC={pi} over {2}]인 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rmangle B = angle C = {pi} over {4}]이다.

선분 [eqn: rmEF]를 접는 선으로 하여 점 [eqn: rmA]가 점 [eqn: rmD]와 겹쳐지도록 접었으므로

[eqn: rmoverline{AE} = overline{DE}], [eqn: rmoverline{AF} = overline{DF}]이고 [eqn: rmangle EDF = angle A = {pi} over {2}]이다.

삼각형 [eqn: rmBDE]와 삼각형 [eqn: rmDCF]의 외접원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: R_{1}], [eqn: R_{2}]라 하면

[eqn: R_{1} : R_{2} = 2 : 1]이므로 [eqn: R_{1} = 2 R_{2}]이다.

삼각형 [eqn: rmBDE]에서 사인법칙에 의해

[eqn: rm {{bar{rmDE}}} over {sinB} =2R _{1}]에서 [eqn: {bar{rmDE}} =2R _{1} sin LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) = sqrt {2} R _{1}]

삼각형 [eqn: rmDCF]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {{bar{rmDF}}} over {sinC} =2R _{2}]에서 [eqn: {bar{rmDF}} =2R _{2} sin LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) = sqrt {2} R _{2}]

[eqn: R_{1} = 2 R_{2}]이므로 [eqn: rm {bar{DE}} =2 sqrt {2} it R _{2} =2 {bar{rmDF}}]이다.

[eqn: {bar{rmDF}} =x]라 하면 [eqn: {bar{rmDE}} =2x]이므로

[eqn: {bar{rmAF}} =x], [eqn: {bar{rmAE}} =2x]이고, [eqn: {bar{rmBE}} =1-2x], [eqn: {bar{rmCF}} =1-x]이다.

점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmrmBC] 위의 점이므로 [eqn: rmangle BDE + angle EDF + angle CDF = pi]이다.

[eqn: rmangle BDE = alpha], [eqn: rmangle CDF = beta]라 하면

[eqn: alpha + {pi} over {2} + beta = pi]에서 [eqn: beta = {pi} over {2} - alpha]이다.

삼각형 [eqn: rmBDE]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {{bar{rmBE}}} over {sin alpha } =2R _{1} = {{bar{rmDE}}} over {sin LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )}]이므로

[eqn: {1-2x} over {sin alpha} = {2x} over {sqrt{2} / 2} = 2 sqrt{2} x]

∴ [eqn: sin alpha = {1-2x} over {2 sqrt{2} x}] ……①

삼각형 [eqn: rmDCF]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {{bar{rmCF}}} over {sin beta } =2R _{2} = {{bar{rmDF}}} over {sin LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )}]이므로

[eqn: {1-x} over {sin beta} = {x} over {sqrt{2} / 2} = sqrt{2} x]

[eqn: beta = {pi} over {2} - alpha]이므로 [eqn: sin beta = sin left ( {pi} over {2} - alpha right ) = cos alpha]이다.

∴ [eqn: cos alpha = {1-x} over {sqrt{2} x}] ……②

[eqn: sin^{2} alpha + cos^{2} alpha = 1]이므로 ①, ②에서

[eqn: left ( {1-2x} over {2 sqrt{2} x} right )^{2} + left ( {1-x} over {sqrt{2} x} right )^{2} = 1]

[eqn: {(1-2x)^{2}} over {8x^{2}} + {(1-x)^{2}} over {2x^{2}} = 1]

양변에 [eqn: 8x^{2}]을 곱하여 정리하면

[eqn: (1-2x)^{2} + 4(1-x)^{2} = 8x^{2}]

[eqn: 1 - 4x + 4x^{2} + 4 - 8x + 4x^{2} = 8x^{2}]

[eqn: 8x^{2} - 12x + 5 = 8x^{2}], [eqn: 12x = 5] ∴ [eqn: x = {5} over {12}]

따라서 [eqn: rmoverline{DF} = {5} over {12}]이므로 [eqn: p=12], [eqn: q=5]이고 [eqn: p+q = 17]이다.

따라서 정답은 [eqn: 17]이다.

함수 [eqn: f(x)=left | x-k right |-4]([eqn: k]는 실수)와 양의 실수 [eqn: a] ([eqn: a neq 1])에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{a ^{-f LEFT ( x RIGHT )}&``` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) <0 RIGHT )#a ^{f LEFT ( x RIGHT )}&``` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0 RIGHT )}}]
이라 하자. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=16]의 교점의 개수가 [eqn: 3]이고 [eqn: g(1)=16]일 때, 모든 [eqn: f(a-2)]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 5]

함수 [eqn: g(x)]의 식을 절댓값을 이용하여 나타내면 [eqn: g(x) = a^{left | f(x) right |}]이다.

[eqn: f(x) = left | x-k right | - 4]에서 [eqn: y = left | f(x) right |]의 그래프는 [eqn: x = k-4], [eqn: x = k+4]에서 최솟값 [eqn: 0]을 가지고, [eqn: x = k]에서 함숫값 [eqn: 4]를 가지며 [eqn: x=k]를 기준으로 좌우 대칭인 '[eqn: W]' 모양이다.

방정식 [eqn: g(x) = 16]에서 [eqn: a^{left | f(x) right |} = 16]이므로

[eqn: left | f(x) right | = log_{a} 16] ……①

함수 [eqn: y = g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y = 16]의 교점의 개수가 [eqn: 3]이려면 ①의 실근의 개수가 [eqn: 3]이어야 하므로 [eqn: y = left | f(x) right |]의 그래프와 직선 [eqn: y = log_{a} 16]이 서로 다른 세 점에서 만나야 한다.

그래프의 개형에서 교점이 [eqn: 3]개가 되려면 직선이 [eqn: x = k]에서의 함숫값인 [eqn: 4]를 지나야 하므로 [eqn: log_{a} 16 = 4]

[eqn: a^{4} = 16]이고 [eqn: a]는 양의 실수이므로 ∴ [eqn: a = 2]

[eqn: g(1) = 16]에서 [eqn: 2^{left | f(1) right |} = 16 = 2^{4}]이므로 [eqn: left | f(1) right | = 4]

즉, [eqn: left | left | 1-k right | - 4 right | = 4]에서 [eqn: left | 1-k right | - 4 = 4] 또는 [eqn: left | 1-k right | - 4 = -4]

(ⅰ) [eqn: left | 1-k right | - 4 = 4]일 때

[eqn: left | 1-k right | = 8]이므로 [eqn: 1-k = 8] 또는 [eqn: 1-k = -8]

∴ [eqn: k = -7] 또는 [eqn: k = 9]

(ⅱ) [eqn: left | 1-k right | - 4 = -4]일 때

[eqn: left | 1-k right | = 0]이므로 [eqn: 1-k = 0] ∴ [eqn: k = 1]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: k]의 값은 [eqn: -7], [eqn: 1], [eqn: 9]이다.

구하는 값은 [eqn: f(a-2)]이고 [eqn: a = 2]이므로 [eqn: f(0)]의 값을 구하면

[eqn: f(0) = left | -k right | - 4 = left | k right | - 4]이므로

[eqn: k = -7]일 때, [eqn: f(0) = left | -7 right | - 4 = 3]

[eqn: k = 1]일 때, [eqn: f(0) = left | 1 right | - 4 = -3]

[eqn: k = 9]일 때, [eqn: f(0) = left | 9 right | - 4 = 5]

모든 [eqn: f(a-2)]의 값의 합은 [eqn: 3 + (-3) + 5 = 5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.