수학ETF	2023_고2_3월	기출문제
	1~30

두 다항식
[eqn: A=x^{3}+2x^{2}], [eqn: B=2x^{3}-x^{2}-1]
에 대하여 [eqn: A+B]를 간단히 하면?

③

[eqn: A = x^{3} + 2x^{2}], [eqn: B = 2x^{3} - x^{2} - 1]이므로

[eqn: A + B = (x^{3} + 2x^{2}) + (2x^{3} - x^{2} - 1)]

[eqn: = (1 + 2)x^{3} + (2 - 1)x^{2} - 1]

[eqn: = 3x^{3} + x^{2} - 1]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: x^{3}-3x^{2}-1]	② [eqn: x^{3}+x^{2}+1]	③ [eqn: 3x^{3}+x^{2}-1]

④ [eqn: 3x^{3}+x^{2}+1]	⑤ [eqn: 3x^{3}+3x^{2}-1]

실수 [eqn: x]에 대한 조건
'[eqn: x]는 음이 아닌 실수이다.’
의 진리집합은?

④

실수는 양수, [eqn: 0], 음수로 이루어져 있으므로 '음이 아닌 실수'는 양수이거나 [eqn: 0]인 실수이다.

즉, 조건 '[eqn: x]는 음이 아닌 실수이다.'를 부등식으로 나타내면 [eqn: x geq 0]이다.

따라서 이 조건의 진리집합은 [eqn: LEFT { x`|`x GEQ 0 RIGHT }]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: LEFT { x``|``x<0 RIGHT }]	② [eqn: LEFT { x``|``x LEQ 0 RIGHT }]	③ [eqn: LEFT { x``|``x != 0 RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { x``|``x GEQ 0 RIGHT }]	⑤ [eqn: LEFT { x``|``x>0 RIGHT }]

[eqn: {} _{5} rmP _{3}]의 값은?

⑤

[eqn: _{5}P_{3} = 5 times 4 times 3 = 60][eqn: {} _{5} rmP _{3} =5 TIMES 4 TIMES 3=60]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 20]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 60]

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA(-5)], [eqn: rmB(1)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:1]로 외분하는 점의 좌표는?

①

수직선 위의 두 점 [eqn: rmA(-5)], [eqn: rmB(1)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:1]로 외분하는 점의 좌표를 [eqn: x]라 하면

[eqn: x = {3 times 1 - 1 times (-5)} over {3 - 1}], [eqn: x = {3 + 5} over {2}], [eqn: x = 4]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: (sqrt{2}+sqrt{-2})^{2}]의 값은? (단, [eqn: i=sqrt{-1}])

⑤

[eqn: sqrt{-2} = sqrt{2}i]이므로

[eqn: (sqrt{2}+sqrt{-2})^{2} = (sqrt{2}+sqrt{2}i)^{2}]

[eqn: = (sqrt{2})^{2} + 2 times sqrt{2} times sqrt{2}i + (sqrt{2}i)^{2}][eqn: = 2 + 4i + 2i^{2}]

[eqn: i^{2} = -1]이므로

[eqn: 2 + 4i - 2 = 4i]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: -4i]	② [eqn: -2i]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2i]	⑤ [eqn: 4i]

[eqn: a+b=2], [eqn: a^{3}+b^{3}=10]일 때, [eqn: ab]의 값은?

②

곱셈 공식의 변형에 의해

[eqn: a^{3}+b^{3} = (a+b)^{3} - 3ab(a+b)]이므로

주어진 조건 [eqn: a+b=2], [eqn: a^{3}+b^{3}=10]을 대입하면

[eqn: 10 = 2^{3} - 3ab times 2]

[eqn: 10 = 8 - 6ab], [eqn: 6ab = -2] ∴ [eqn: ab = -{1} over {3}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -{2} over {3}]	② [eqn: -{1} over {3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

점 [eqn: (6, a)]를 지나고 직선 [eqn: 3x+2y-1=0]에 수직인 직선이 원점을 지날 때, [eqn: a]의 값은?

③

직선 [eqn: 3x+2y-1=0]에서 [eqn: y = -{3} over {2}x + {1} over {2}]이므로 이 직선의 기울기는 [eqn: -{3} over {2}]이다.

구하는 직선은 이 직선과 수직이므로 기울기를 [eqn: m]이라 하면

[eqn: m times left ( -{3} over {2} right ) = -1]에서 [eqn: m = {2} over {3}]

이 직선이 원점을 지나므로 직선의 방정식은 [eqn: y = {2} over {3}x]

이 직선이 점 [eqn: (6, a)]를 지나므로 [eqn: a = {2} over {3} times 6 = 4]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: y=x^{2}+ax+a^{2}]의 그래프가 직선 [eqn: y=-x]에 접하도록 하는 양수 [eqn: a]의 값은?

②

이차함수 [eqn: y = x^{2} + ax + a^{2}]의 그래프가 직선 [eqn: y = -x]에 접하므로

이차방정식 [eqn: x^{2} + ax + a^{2} = -x], 즉 [eqn: x^{2} + (a+1)x + a^{2} = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D = 0]이어야 한다.

[eqn: D = (a+1)^{2} - 4a^{2} = 0]에서 [eqn: a = -{1} over {3}] 또는 [eqn: a = 1]

[eqn: a]는 양수이므로 [eqn: a = 1]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

원 [eqn: x^{2}+y^{2}=r^{2}] 위의 점 [eqn: (a,`4 sqrt {3} )]에서의 접선의 방정식이 [eqn: x-sqrt{3}y+b=0]일 때, [eqn: a+b+r]의 값은? (단, [eqn: r]는 양수이고, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

④

직선 [eqn: x-sqrt{3}y+b=0]에서 [eqn: x = sqrt{3}y - b]

이를 원의 방정식 [eqn: x^{2}+y^{2}=r^{2}]에 대입하면

[eqn: (sqrt{3}y - b)^{2} + y^{2} = r^{2}]

[eqn: 3y^{2} - 2sqrt{3}by + b^{2} + y^{2} - r^{2} = 0]

[eqn: 4y^{2} - 2sqrt{3}by + b^{2} - r^{2} = 0] ……①

직선이 원에 접하므로 이차방정식 ①의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} = (-sqrt{3}b)^{2} - 4(b^{2} - r^{2}) = 0]

[eqn: 3b^{2} - 4b^{2} + 4r^{2} = 0]

[eqn: b^{2} = 4r^{2}] ……②

접점의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 4sqrt{3}]이므로 이차방정식 ①은 [eqn: y = 4sqrt{3}]을 중근으로 가진다.

근과 계수의 관계에서 두 근의 합은

[eqn: {2sqrt{3}b} over {4} = 4sqrt{3} + 4sqrt{3}], [eqn: {sqrt{3}} over {2} b = 8sqrt{3}] ∴ [eqn: b = 16]

②에 대입하면 [eqn: 16^{2} = 4r^{2}], [eqn: 256 = 4r^{2}], [eqn: r^{2} = 64]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r = 8]

접점 [eqn: (a, 4sqrt{3})]이 직선 [eqn: x-sqrt{3}y+16=0] 위의 점이므로

[eqn: a - sqrt{3}(4sqrt{3}) + 16 = 0], [eqn: a - 12 + 16 = 0] ∴ [eqn: a = -4]

∴ [eqn: a+b+r = -4 + 16 + 8 = 20]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

삼차방정식 [eqn: x^{3}+2x-3=0]의 한 허근을 [eqn: a+bi]라 할 때, [eqn: a^{2}b^{2}]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이고, [eqn: i=sqrt{-1}] 이다.)

①

주어진 삼차방정식 [eqn: x^{3}+2x-3=0]에서 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: (x-1)(x^{2}+x+3)=0]

이때 [eqn: x=1]은 실근이므로 허근은 이차방정식 [eqn: x^{2}+x+3=0]의 근이다.

근의 공식에 의해

[eqn: x = {-1 +- sqrt{1^{2} - 4 times 1 times 3}} over {2} = {-1 +- sqrt{11}i} over {2}]

한 허근이 [eqn: a+bi]이므로

[eqn: a = -{1} over {2}], [eqn: b = {sqrt{11}} over {2}] 또는 [eqn: b = -{sqrt{11}} over {2}]

따라서 [eqn: a^{2} = {1} over {4}], [eqn: b^{2} = {11} over {4}]이므로

[eqn: a^{2}b^{2} = {1} over {4} times {11} over {4} = {11} over {16}]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: {11} over {16}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {13} over {16}]

④ [eqn: {7} over {8}]	⑤ [eqn: {15} over {16}]

전체집합 [eqn: U= LEFT { x``|``x는``50이하의``자연수 RIGHT }]의 두 부분집합
[eqn: A= LEFT { x``|``x는``30의``약수 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { x``|``x는``3의``배수 RIGHT }]
에 대하여 [eqn: n(A^{C} cup B)]의 값은?

④

전체집합 [eqn: U = left { 1, 2, 3, cdots, 50 right }]이므로 [eqn: n(U) = 50]

[eqn: A = left { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 right }]

[eqn: B = left { 3, 6, 9, cdots, 48 right }]

드모르간의 법칙에 의해 [eqn: (A^{C} cup B)^{C} = A cap B^{C} = A - B]이므로

[eqn: n(A^{C} cup B) = n(U) - n(A - B)]

집합 [eqn: A - B]는 집합 [eqn: A]의 원소 중 [eqn: 3]의 배수가 아닌 원소의 집합이므로

[eqn: A - B = left { 1, 2, 5, 10 right }]

[eqn: n(A - B) = 4]

∴ [eqn: n(A^{C} cup B) = 50 - 4 = 46]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

[eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명과 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 4]명이 있다. 이 [eqn: 6]명의 학생이 일렬로 나열된 [eqn: 6]개의 의자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 앉는 경우의 수는?

(가) [eqn: 1]학년 학생끼리는 이웃하지 않는다.

(나) 양 끝에 있는 의자에는 모두 [eqn: 2]학년 학생이 앉는다.

③

조건 (나)에 의해 양 끝에 있는 의자에 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 4]명 중 [eqn: 2]명이 앉는 경우의 수는

[eqn: _{4}P_{2} = 4 \times 3 = 12][eqn: 4 TIMES 3=12]

가운데 [eqn: 4]개의 의자에 남은 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명과 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명이 앉는 전체 경우의 수는

[eqn: 4! = 24]

이때 조건 (가)에 의해 [eqn: 1]학년 학생끼리는 이웃하지 않아야 한다.

가운데 [eqn: 4]개의 의자에 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명이 이웃하여 앉는 경우의 수는 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 2]명을 한 묶음으로 생각하여 나열하는 경우의 수와 같으므로

[eqn: 3! rm TIMES 2 ! = 6 rm TIMES 2=12]

그러므로 가운데 [eqn: 4]개의 의자에 [eqn: 1]학년 학생끼리 이웃하지 않게 앉는 경우의 수는

[eqn: 24 - 12 = 12]

따라서 구하는 모든 경우의 수는

[eqn: 12 rm times12=144]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 96]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 144]

④ [eqn: 168]	⑤ [eqn: 192]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 세 함수 [eqn: f], [eqn: g], [eqn: h]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f]는 항등함수이고 [eqn: g]는 상수함수이다.

(나) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x)+g(x)+h(x)=7]
이다.

[eqn: g(3)+h(1)]의 값은?

⑤

조건 (가)에서 [eqn: f]는 항등함수이므로 모든 [eqn: x in X]에 대하여 [eqn: f(x) = x]이다.

[eqn: g]는 상수함수이므로 상수 [eqn: c] ([eqn: c in X])에 대하여 [eqn: g(x) = c]라 하면

조건 (나)에서 [eqn: f(x) + g(x) + h(x) = 7]이므로

[eqn: x + c + h(x) = 7]

즉, [eqn: h(x) = 7 - x - c]이다.

[eqn: h]는 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수이므로 [eqn: x=5]일 때 [eqn: h(5) = 2 - c in X]이어야 한다.

[eqn: X = left { 1, 2, 3, 4, 5 right }]이고 [eqn: c in X]이므로 [eqn: 2 - c > 0]을 만족하는 [eqn: c]의 값은 [eqn: 1]이다.

따라서 [eqn: g(x) = 1]이므로 [eqn: g(3) = 1]이다.

[eqn: c=1]일 때 [eqn: h(x) = 6 - x]이므로 [eqn: h(1) = 6 - 1 = 5]이다.

∴ [eqn: g(3) + h(1) = 1 + 5 = 6]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: x]에 대한 연립부등식
[eqn: {cases{x ^{2} +3x-10<0&#ax GEQ a ^{2}&}}]
을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 정수 [eqn: a]의 값은?

②

[eqn: x^{2} + 3x - 10 < 0]에서 [eqn: (x+5)(x-2) < 0], [eqn: -5 < x < 2] ……①

①을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -4], [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]이다.

[eqn: ax geq a^{2}]에서

(ⅰ) [eqn: a > 0]일 때

[eqn: x geq a] ……②

①, ②에서 연립부등식의 해는 [eqn: a leq x < 2]

만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 4]가 되려면 정수 [eqn: x]는 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]이어야 하므로

[eqn: -3 < a leq -2]

이는 [eqn: a > 0]이라는 조건에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: a = 0]일 때

[eqn: 0 times x geq 0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립한다.

①과 연립하면 해는 [eqn: -5 < x < 2]이고, 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 6]이므로 조건에 맞지 않는다.

(ⅲ) [eqn: a < 0]일 때

[eqn: x leq a] ……③

①, ③에서 연립부등식의 해는 [eqn: -5 < x leq a]

만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 4]가 되려면 정수 [eqn: x]는 [eqn: -4], [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1]이어야 하므로

[eqn: -1 leq a < 0]

[eqn: a]는 정수이므로 [eqn: a = -1]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: -1]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

다항식 [eqn: P(x)]와 상수 [eqn: a]에 대하여 등식
[eqn: x^{3}-x^{2}+3x-2=(x+2)P(x)+ax]
가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: P(-2)]의 값은?

①

주어진 등식 [eqn: x^{3}-x^{2}+3x-2=(x+2)P(x)+ax]가 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 양변에 [eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: (-2)^{3}-(-2)^{2}+3 times (-2)-2 = -2a]

[eqn: -8-4-6-2 = -2a], [eqn: -20 = -2a], [eqn: a = 10]

[eqn: a=10]을 주어진 등식에 대입하면

[eqn: x^{3}-x^{2}+3x-2 = (x+2)P(x)+10x]

[eqn: (x+2)P(x) = x^{3}-x^{2}-7x-2]

조립제법을 이용하여 [eqn: x^{3}-x^{2}-7x-2]를 [eqn: x+2]로 나누면

[eqn: x^{3}-x^{2}-7x-2 = (x+2)(x^{2}-3x-1)]

따라서 [eqn: P(x) = x^{2}-3x-1]이다.

[eqn: P(-2) = (-2)^{2}-3 times (-2)-1 = 4+6-1 = 9]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

집합 [eqn: X= LEFT { x`|`0 LEQ x LEQ 4 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ax ^{2} +b&``` LEFT ( 0 LEQ x<3 RIGHT )#x-3&``` LEFT ( 3 LEQ x LEQ 4 RIGHT )}}]
가 일대일대응일 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

함수 [eqn: f(x)]가 일대일대응이려면 치역이 공역 [eqn: X= LEFT { x`|`0 LEQ x LEQ 4 RIGHT }]와 같아야 하고, 일대일함수이어야 한다.

[eqn: 3 leq x leq 4]에서 [eqn: f(x) = x - 3]이므로 이 구간에서의 치역은 [eqn: LEFT { y`|`0 LEQ y LEQ 1 RIGHT }]이다.

따라서 [eqn: 0 leq x < 3]에서 [eqn: f(x) = ax^{2} + b]의 치역은 [eqn: LEFT { y`|`1<y LEQ 4 RIGHT }]이어야 한다.

이차함수 [eqn: f(x) = ax^{2} + b]의 꼭짓점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 0]이므로, [eqn: 0 leq x < 3]에서 치역이 [eqn: LEFT { y`|`1<y LEQ 4 RIGHT }]가 되려면 [eqn: x=0]일 때 최댓값 [eqn: 4]를 가져야 한다.

[eqn: f(0) = b = 4]

또한 [eqn: x]의 값이 [eqn: 3]에 가까워질 때 [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 1]에 가까워져야 하므로

[eqn: 9a + 4 = 1]에서 [eqn: 9a = -3] ∴ [eqn: a = -{1} over {3}]

이때 [eqn: a < 0]이므로 [eqn: f(x) = -{1} over {3}x^{2} + 4]는 [eqn: 0 leq x < 3]에서 감소하고, 일대일함수 조건을 만족한다.

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: 0 leq x < 3]에서 [eqn: f(x) = -{1} over {3}x^{2} + 4]이다.

[eqn: x=1]은 [eqn: 0 leq x < 3]에 속하므로

[eqn: f(1) = -{1} over {3} times 1^{2} + 4 = {11} over {3}]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: {7} over {3}]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {3}]

다음 조건을 만족시키는 허수 [eqn: z]가 존재하도록 하는 두 정수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 최솟값은? (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

(가) [eqn: z^{2}+mz+n=0]

(나) [eqn: z+bar{z}=8]

④

[eqn: z]가 허수이므로 [eqn: z = a + bi] ([eqn: a], [eqn: b]는 실수, [eqn: b rm != 0])라 하면

[eqn: bar{z} = a - bi]이다.

조건 (나)에서 [eqn: z + bar{z} = 8]이므로

[eqn: (a + bi) + (a - bi) = 8]

[eqn: 2a = 8] ∴ [eqn: a = 4]

조건 (가)에서 [eqn: z^{2} + mz + n = 0]이고 [eqn: m], [eqn: n]이 정수이므로

이차방정식 [eqn: x^{2} + mx + n = 0]의 한 근이 [eqn: z]이면 다른 한 근은 [eqn: bar{z}]이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

두 근의 합은 [eqn: z + bar{z} = -m]이므로

[eqn: 8 = -m] ∴ [eqn: m = -8]

두 근의 곱은 [eqn: z rm TIMES {bar{z}} =n]이므로

[eqn: (4 + bi)(4 - bi) = n]

[eqn: 16 + b^{2} = n]

이때 [eqn: b rm != 0]이므로 [eqn: b^{2} > 0]이고, [eqn: n]은 정수이므로

[eqn: n > 16]에서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 17]이다.

따라서 [eqn: m+n]의 최솟값은 [eqn: -8 + 17 = 9]이다.

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건
[eqn: p : left | x-k right | leq 2],
[eqn: q : x^{2}-4x-5 leq 0]
이 있다. 명제 [eqn: p`` -> ``q]와 명제 [eqn: p`` -> `` SIM q]가 모두 거짓이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은?

②

조건 [eqn: p]에서 [eqn: left | x-k right | leq 2]이므로 [eqn: -2 leq x-k leq 2]

[eqn: k-2 leq x leq k+2]

조건 [eqn: q]에서 [eqn: x^{2}-4x-5 leq 0]이므로 [eqn: (x+1)(x-5) leq 0]

[eqn: -1 leq x leq 5]

명제 [eqn: p`` -> ``q]가 참이 되려면 [eqn: k-2 leq x leq k+2]인 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -1 leq x leq 5]이어야 한다.

즉, [eqn: k-2 geq -1]이고 [eqn: k+2 leq 5]에서 [eqn: 1 leq k leq 3]이다.

따라서 명제 [eqn: p`` -> ``q]가 거짓이 되려면 [eqn: k < 1] 또는 [eqn: k > 3] ……①

조건 [eqn: sim q]는 [eqn: x < -1] 또는 [eqn: x > 5]이다.

명제 [eqn: p`` -> `` SIM q]가 참이 되려면 [eqn: k-2 leq x leq k+2]인 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x < -1] 또는 [eqn: x > 5]이어야 한다.

즉, [eqn: k+2 < -1] 또는 [eqn: k-2 > 5]에서 [eqn: k < -3] 또는 [eqn: k > 7]이다.

따라서 명제 [eqn: p`` -> `` SIM q]가 거짓이 되려면 [eqn: -3 leq k leq 7] ……②

①, ②에서 [eqn: -3 leq k < 1] 또는 [eqn: 3 < k leq 7]

이를 만족하는 정수 [eqn: k]는 [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이므로

모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: (-3)+(-2)+(-1)+0+4+5+6+7 = 16]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

다음 조건을 만족시키는 집합 [eqn: A]의 개수는?

(가) [eqn: LEFT { 0 RIGHT } SUBSET A SUBSET LEFT { x`|`x는``실수 RIGHT }]

(나) [eqn: a^{2}-2 notin A]이면 [eqn: a notin A]이다.

(다) [eqn: n(A)=4]

①

조건 (가)에서 [eqn: 0 in A]이다.

조건 (나)에서 [eqn: a^{2}-2 notin A]이면 [eqn: a notin A]이므로, [eqn: a in A]이면 [eqn: a^{2}-2 in A]이다.

[eqn: 0 in A]이므로 [eqn: 0^{2}-2 = -2 in A]이다.

[eqn: -2 in A]이므로 [eqn: (-2)^{2}-2 = 2 in A]이다.

[eqn: 2 in A]이므로 [eqn: 2^{2}-2 = 2 in A]이다.

따라서 집합 [eqn: A]는 [eqn: -2], [eqn: 0], [eqn: 2]를 반드시 원소로 가져야 한다.

조건 (다)에서 [eqn: n(A)=4]이므로 집합 [eqn: A]의 나머지 한 원소를 [eqn: k]라 하면

[eqn: A= LEFT { -2,0,2,k RIGHT }] ([eqn: k neq -2], [eqn: k neq 0], [eqn: k neq 2])이다.

[eqn: k in A]이므로 [eqn: k^{2}-2 in A]이어야 한다.

즉, [eqn: k^{2}-2]는 [eqn: -2], [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: k] 중 하나이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: k^{2}-2 = -2]인 경우

[eqn: k^{2} = 0]에서 [eqn: k = 0]이므로 조건에 맞지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k^{2}-2 = 0]인 경우

[eqn: k^{2} = 2]에서 [eqn: k = sqrt{2}] 또는 [eqn: k = -sqrt{2}]이다.

(ⅲ) [eqn: k^{2}-2 = 2]인 경우

[eqn: k^{2} = 4]에서 [eqn: k = 2] 또는 [eqn: k = -2]이므로 조건에 맞지 않는다.

(ⅳ) [eqn: k^{2}-2 = k]인 경우

[eqn: k^{2}-k-2 = 0]에서 [eqn: (k-2)(k+1) = 0]이므로 [eqn: k = 2] 또는 [eqn: k = -1]이다.

[eqn: k neq 2]이므로 [eqn: k = -1]이다.

따라서 (ⅰ)~(ⅳ)에서 조건을 만족시키는 [eqn: k]의 값은 [eqn: sqrt{2}], [eqn: -sqrt{2}], [eqn: -1]이다.

그러므로 집합 [eqn: A]는 [eqn: left { -2, 0, 2, sqrt{2} right }], [eqn: left { -2, 0, 2, -sqrt{2} right }], [eqn: left{ -2, -1, 0, 2 right }]의 [eqn: 3]개이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{- LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +b&``` LEFT ( x LEQ a RIGHT )#- sqrt {x-a} +b&``` LEFT ( x>a RIGHT )}}]
와 서로 다른 세 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: left { f(x)-alpha right } left { f(x)-beta right } = 0]을 만족시키는

실수 [eqn: x]의 값은 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]뿐이다.

(나) [eqn: f(alpha)=alpha], [eqn: f(beta)=beta]

[eqn: alpha+beta+gamma=15]일 때, [eqn: f(alpha+beta)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

③

함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: x=a]일 때 [eqn: b]이므로 [eqn: f(x)]의 치역은 [eqn: LEFT { y`|`y LEQ b RIGHT }]이다.

조건 (가)에서 방정식 [eqn: left { f(x)-alpha right } left { f(x)-beta right } = 0]은 [eqn: f(x)=alpha] 또는 [eqn: f(x)=beta]이다.

이 방정식의 서로 다른 실근이 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]의 [eqn: 3]개뿐이므로, 두 직선 [eqn: y=alpha], [eqn: y=beta]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 교점의 개수의 합은 [eqn: 3]이다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x leq a]에서 증가하고 [eqn: x > a]에서 감소하므로, 직선 [eqn: y=k] ([eqn: k < b])와 항상 [eqn: 2]개의 교점을 갖고, 직선 [eqn: y=b]와 [eqn: 1]개의 교점을 갖는다.

따라서 교점의 개수의 합이 [eqn: 3]이 되려면 [eqn: alpha], [eqn: beta] 중 하나는 [eqn: b]이어야 한다.

[eqn: beta = b]라 하면, [eqn: f(x)=b]의 근은 [eqn: x=a]뿐이므로 조건 (나)의 [eqn: f(beta)=beta]에서 [eqn: f(b)=b]이고, 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: a]이므로 [eqn: a=b]이다.

즉, [eqn: f(a)=a]이므로 [eqn: a]는 [eqn: f(x)=x]의 한 근이다.

[eqn: f(x)=x]의 다른 한 근 [eqn: alpha]를 구하기 위해 [eqn: x leq a]일 때 [eqn: f(x)=x]를 풀면

[eqn: -(x-a)^{2}+a = x]에서 [eqn: (x-a)^{2}+(x-a) = 0]

[eqn: (x-a)(x-a+1) = 0] ∴ [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=a-1]

[eqn: x > a]일 때 [eqn: f(x)=x]를 풀면

[eqn: -sqrt{x-a}+a = x]에서 [eqn: -sqrt{x-a} = x-a]

[eqn: x > a]에서 [eqn: x-a > 0]이고 [eqn: -sqrt{x-a} < 0]이므로 실근이 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: f(x)=x]의 두 근은 [eqn: a-1], [eqn: a]이므로 [eqn: alpha = a-1], [eqn: beta = a]이다.

방정식 [eqn: f(x)=alpha], 즉 [eqn: f(x)=a-1]의 근을 구하면

[eqn: x leq a]일 때, [eqn: -(x-a)^{2}+a = a-1]에서 [eqn: (x-a)^{2} = 1]

[eqn: x-a = -1] ([eqn: x leq a]이므로) ∴ [eqn: x = a-1]

[eqn: x > a]일 때, [eqn: -sqrt{x-a}+a = a-1]에서 [eqn: sqrt{x-a} = 1]

[eqn: x-a = 1] ∴ [eqn: x = a+1]

따라서 [eqn: f(x)=alpha] 또는 [eqn: f(x)=beta]의 모든 실근은 [eqn: a-1], [eqn: a], [eqn: a+1]이다.

이 세 실근이 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]이므로 세 실근의 합은

[eqn: (a-1) + a + (a+1) = 3a]

주어진 조건에서 [eqn: alpha+beta+gamma=15]이므로

[eqn: 3a = 15] ∴ [eqn: a = 5]

[eqn: a=5], [eqn: b=5]이므로 [eqn: alpha=4], [eqn: beta=5]이다.

따라서 [eqn: f(alpha+beta) = f(9)]이고, [eqn: 9 > 5]이므로

[eqn: f(9) = -sqrt{9-5} + 5 = -2 + 5 = 3]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

좌표평면 위에 사분원의 호 [eqn: C: x^{2}+y^{2}=25 (x leq 0, y geq 0)]과  점 [eqn: rmA(4, 2)]가 있다. 호 [eqn: rmC] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmQ]를 삼각형 [eqn: rmAPQ]의 무게중심이 원점과 일치하도록 잡는다. 점 [eqn: rmA]를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmA']이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 선분 [eqn: rmPQ]의 중점의 좌표는 [eqn: (-2, -1)]이다.

ㄴ. 선분 [eqn: rmA'Q]의 길이는 항상 일정하다.

ㄷ. 삼각형 [eqn: rmA'QP]의 넓이의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M, m]이라 할 때, [eqn: M times m = 20 sqrt{5}] 이다.

②

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (a, b)]라 하면 점 [eqn: rmP]는 호 [eqn: rmC] 위의 점이므로

[eqn: a^{2} + b^{2} = 25] ([eqn: a leq 0], [eqn: b geq 0]) ……①

점 [eqn: rmQ]의 좌표를 [eqn: (x, y)]라 하면 삼각형 [eqn: rmAPQ]의 무게중심이 원점 [eqn: rmO(0, 0)]이므로

[eqn: {4 + a + x} over {3} = 0], [eqn: {2 + b + y} over {3} = 0]

[eqn: x = -a - 4], [eqn: y = -b - 2]

∴ [eqn: rmQ(it-a-4,-b-2)]

ㄱ. 선분 [eqn: rmPQ]의 중점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {a + (-a-4)} over {2} = -2]이고, [eqn: y]좌표는 [eqn: {b + (-b-2)} over {2} = -1]이므로 중점의 좌표는 [eqn: (-2, -1)]이다. (참)

ㄴ. 점 [eqn: rmA']은 점 [eqn: rmA(4, 2)]를 원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 [eqn: rmA'(-4, -2)]이다.

선분 [eqn: rmA'Q]의 길이는

[eqn: rm A prime Q= it sqrt {(-a-4-(-4)) ^{2} +(-b-2-(-2)) ^{2}} = sqrt {a ^{2} +b ^{2}}]

①에 의해 [eqn: a^{2} + b^{2} = 25]이므로

[eqn: rmbarA'Q`=5]

따라서 선분 [eqn: rmA'Q]의 길이는 [eqn: 5]로 항상 일정하다. (참)

ㄷ. 세 점 [eqn: rmA'(-4, -2)], [eqn: rmP(ita,b)], [eqn: rmQ(it-a-4,-b-2)]를 각각 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하면

[eqn: (0, 0)], [eqn: (a+4, b+2)], [eqn: (-a, -b)]이다.

삼각형 [eqn: rmA'QP]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = {1} over {2} left | (a+4) times (-b) - (b+2) times (-a) right |]

[eqn: S = {1} over {2} left | -ab - 4b + ab + 2a right | = {1} over {2} left | 2a - 4b right | = left | a - 2b right |]

[eqn: a leq 0], [eqn: b geq 0]이므로 [eqn: a - 2b leq 0]이다.

∴ [eqn: S = 2b - a]

[eqn: S = k]라 하면 [eqn: 2b - a = k]에서 [eqn: a = 2b - k]이다.

이를 ①에 대입하면

[eqn: (2b - k)^{2} + b^{2} = 25]

[eqn: 5b^{2} - 4kb + k^{2} - 25 = 0]

이 이차방정식이 실근을 가져야 하므로 판별식 [eqn: D]에 대하여

[eqn: {D} over {4} = (-2k)^{2} - 5(k^{2} - 25) geq 0]에서 [eqn: -5 sqrt{5} leq k leq 5 sqrt{5}]

[eqn: a leq 0], [eqn: b geq 0]에서 [eqn: k = 2b - a geq 0]이므로 [eqn: 0 leq k leq 5 sqrt{5}]이다.

이때 점 [eqn: rmP]는 호 [eqn: C] 위의 점이므로 양 끝점 [eqn: (-5, 0)], [eqn: (0, 5)]를 지날 때의 [eqn: k]의 값을 구하면

(ⅰ) [eqn: rmP(-5, 0)]일 때, [eqn: k = 2 times 0 - (-5) = 5]

(ⅱ) [eqn: rmP(0, 5)]일 때, [eqn: k = 2 times 5 - 0 = 10]

따라서 [eqn: k]의 최댓값 [eqn: M = 5 sqrt{5}]이고, 최솟값 [eqn: m = 5]이다.

[eqn: M times m = 5 sqrt{5} times 5 = 25 sqrt{5}] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

따라서 정답은 ②이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 집합
[eqn: A= left { -7, -5, 3 right }], [eqn: B= left { -7, -5, 9 right }]
에 대하여 집합 [eqn: A cap B]의 모든 원소의 곱을 구하시오.

[eqn: 35]

두 집합 [eqn: A = left { -7, -5, 3 right }], [eqn: B = left { -7, -5, 9 right }]에서

[eqn: A cap B]는 집합 [eqn: A]와 집합 [eqn: B]에 공통으로 속하는 원소들로 이루어진 집합이므로

[eqn: A cap B = left { -7, -5 right }]

집합 [eqn: A cap B]의 모든 원소의 곱은

[eqn: (-7) times (-5) = 35]

따라서 정답은 [eqn: 35]이다.

그림은 함수 [eqn: f:X`` -> ``X]를 나타낸 것이다.

[eqn: (f circ f)(1)+f^{-1}(1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 5]

주어진 대응 관계에서

[eqn: f(1) = 4], [eqn: f(2) = 1], [eqn: f(3) = 2], [eqn: f(4) = 3]이다.

[eqn: (f circ f)(1) = f(f(1))]이고 [eqn: f(1) = 4]이므로

[eqn: f(f(1)) = f(4) = 3]

또한, [eqn: f(2) = 1]이므로

[eqn: f^{-1}(1) = 2]

∴ [eqn: (f circ f)(1) + f^{-1}(1) = 3 + 2 = 5]

따라서 정답은 [eqn: 5]이다.

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^{2}+3]으로 나눈 몫이 [eqn: 3x+1], 나머지가 [eqn: x+5]일 때, [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지를 구하시오.

[eqn: 22]

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^{2}+3]으로 나눈 몫이 [eqn: 3x+1]이고 나머지가 [eqn: x+5]이므로

[eqn: P(x) = (x^{2}+3)(3x+1) + x + 5]

나머지정리에 의하여 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: P(1)]이므로

[eqn: P(1) = (1^{2}+3)(3 times 1+1) + 1 + 5][eqn: = 4 times 4 + 6][eqn: = 16 + 6 = 22]

따라서 정답은 [eqn: 22]이다.

[eqn: -5 LEQ x LEQ -1]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {-ax+1}] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]의 최댓값이 [eqn: 4]가 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

[eqn: a>0]이므로 함수 [eqn: f(x) = sqrt{-ax+1}]은 [eqn: x]의 값이 작을수록 그 값이 커진다.

따라서 [eqn: -5 leq x leq -1]에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = -5]일 때 최댓값을 갖는다.

[eqn: f(-5) = sqrt{5a+1} = 4]

양변을 제곱하면

[eqn: 5a+1 = 16], [eqn: 5a = 15], [eqn: a = 3]

따라서 정답은 [eqn: 3]이다.

좌표평면 위의 네 점
[eqn: rmA(0, 1)], [eqn: rmB(0, 4)], [eqn: rmC(it sqrt {2} ,p)], [eqn: rmD(it3 sqrt {2} ,q)]
가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(가) 직선 CD의 기울기는 음수이다.

(나) [eqn: rmoverline{AB}=overline{CD}]이고 [eqn: rm {bar{AD}} // {bar{BC}}] 이다.

[eqn: 9]

[eqn: rmA(0, 1)], [eqn: rmB(0, 4)]이므로 [eqn: rmoverline{AB} = sqrt{(0-0)^{2} + (4-1)^{2}} = 3]이다.

조건 (나)에서 [eqn: rmoverline{AB} = overline{CD}]이므로 [eqn: rmoverline{CD} = 3]이다.

[eqn: rm {bar{CD}} ^{2} =it(3 sqrt {2} - sqrt {2} ) ^{2} +(q-p) ^{2} =8+(q-p) ^{2}]이므로

[eqn: 8 + (q - p)^{2} = 9]에서 [eqn: (q - p)^{2} = 1]

∴ [eqn: q - p = 1] 또는 [eqn: q - p = -1] ……①

조건 (가)에서 직선 [eqn: rmCD]의 기울기는 음수이므로

[eqn: {q - p} over {3sqrt{2} - sqrt{2}} = {q - p} over {2sqrt{2}} < 0]

∴ [eqn: q - p < 0]

①에 의해 [eqn: q - p = -1] ∴ [eqn: q = p - 1] ……②

조건 (나)에서 [eqn: rmoverline{AD} // overline{BC}]이므로 두 직선의 기울기는 같다.

직선 [eqn: rmAD]의 기울기는 [eqn: {q - 1} over {3sqrt{2} - 0} = {q - 1} over {3sqrt{2}}]

직선 [eqn: rmBC]의 기울기는 [eqn: {p - 4} over {sqrt{2} - 0} = {p - 4} over {sqrt{2}}]

[eqn: {q - 1} over {3sqrt{2}} = {p - 4} over {sqrt{2}}]에서 [eqn: q - 1 = 3(p - 4)]

∴ [eqn: 3p - q = 11] ……③

②를 ③에 대입하면

[eqn: 3p - (p - 1) = 11], [eqn: 2p + 1 = 11], [eqn: 2p = 10] ∴ [eqn: p = 5]

[eqn: p = 5]를 ②에 대입하면 [eqn: q = 5 - 1 = 4]

∴ [eqn: p + q = 5 + 4 = 9]

따라서 정답은 [eqn: 9]이다.

서로 다른 네 종류의 인형이 각각 [eqn: 2]개씩 있다. 이 [eqn: 8]개의 인형 중에서 [eqn: 5]개를 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의 인형끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 16]

네 종류의 인형을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하면 각 인형은 최대 [eqn: 2]개까지 선택할 수 있다.

이 중에서 [eqn: 5]개를 선택할 때, 각 종류별로 선택하는 인형의 개수를 순서쌍으로 나타내면 다음과 같이 두 가지 경우로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: 2]개, [eqn: 2]개, [eqn: 1]개, [eqn: 0]개를 선택하는 경우

[eqn: 4]종류 중 [eqn: 2]개를 선택하여 각각 [eqn: 2]개씩 뽑고, 남은 [eqn: 2]종류 중 [eqn: 1]개를 선택하여 [eqn: 1]개를 뽑는 경우의 수와 같으므로

[eqn: rm{}_{4}C_{2} times {}_{2}C_{1} = 6 times 2 = 12]

(ⅱ) [eqn: 2]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개를 선택하는 경우

[eqn: 4]종류 중 [eqn: 1]개를 선택하여 [eqn: 2]개를 뽑고, 남은 [eqn: 3]종류는 각각 [eqn: 1]개씩 뽑는 경우의 수와 같으므로

[eqn: rm{}_{4}C_{1} times {}_{3}C_{3} = 4 times 1 = 4]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 12 + 4 = 16]이다.

따라서 정답은 [eqn: 16]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=n]이 이차함수 [eqn: y=x^{2}-4x+4]의 그래프와 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]라 하자. [eqn: {left | x_{1} right | + left | x_{2} right |} over {2}]의 값이 자연수가 되도록 하는 [eqn: 100]이하의 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

[eqn: 12]

이차방정식 [eqn: x^{2}-4x+4=n]에서 [eqn: (x-2)^{2}=n]이므로 [eqn: x=2+-sqrt{n}]이다.

두 근을 [eqn: x_{1}=2-sqrt{n}], [eqn: x_{2}=2+sqrt{n}]이라 하면 [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: x_{2}=2+sqrt{n}>0]이다.

(ⅰ) [eqn: 1 leq n leq 4]일 때

[eqn: 2-sqrt{n} geq 0]이므로 [eqn: left | x_{1} right | = 2-sqrt{n}]이다.

[eqn: {left | x_{1} right | + left | x_{2} right |} over {2} = {2-sqrt{n}+2+sqrt{n}} over {2} = 2]

따라서 [eqn: 1 leq n leq 4]인 자연수 [eqn: n]은 모두 조건을 만족하므로 [eqn: n=1, 2, 3, 4]의 [eqn: 4]개이다.

(ⅱ) [eqn: n > 4]일 때

[eqn: 2-sqrt{n} < 0]이므로 [eqn: left | x_{1} right | = -2+sqrt{n}]이다.

[eqn: {left | x_{1} right | + left | x_{2} right |} over {2} = {-2+sqrt{n}+2+sqrt{n}} over {2} = sqrt{n}]

[eqn: sqrt{n}]이 자연수가 되려면 [eqn: n]은 완전제곱수이어야 한다.

[eqn: 4 < n leq 100]인 완전제곱수는 [eqn: n=3^{2}, 4^{2}, 5^{2}, 6^{2}, 7^{2}, 8^{2}, 9^{2}, 10^{2}]의 [eqn: 8]개이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족하는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 4+8=12]이다.

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

원 [eqn: (x-6)^{2}+y^{2}=r^{2}] 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmrmQ]가 있다. 점 [eqn: rmP]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 [eqn: (x_{1}, y_{1})]이라 하고, 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 점의 좌표를 [eqn: (x_{2}, y_{2})]라 하자. [eqn: {y_{2}-y_{1}} over {x_{2}-x_{1}}]의 최솟값이 [eqn: 0]이고 최댓값이 [eqn: {4} over {3}]일 때, [eqn: left | r+k right |]의 값을 구하시오. (단, [eqn: x_{1} neq x_{2}]이고, [eqn: r]는 양수이다.)

[eqn: 15]

점 [eqn: rmP LEFT ( ita,`b RIGHT )]가 원 [eqn: (x-6)^{2} + y^{2} = r^{2}] 위의 점이라 하면 [eqn: (a-6)^{2} + b^{2} = r^{2}]이다.

점 [eqn: rmP]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmP'` LEFT ( itx _{1} ,`y _{1} RIGHT )]은 [eqn: x_{1} = b], [eqn: y_{1} = a]이므로

[eqn: (y_{1}-6)^{2} + x_{1}^{2} = r^{2}], 즉 [eqn: x_{1}^{2} + (y_{1}-6)^{2} = r^{2}]을 만족한다.

점 [eqn: Q(c, d)]가 원 [eqn: (x-6)^{2} + y^{2} = r^{2}] 위의 점이라 하면 [eqn: (c-6)^{2} + d^{2} = r^{2}]이다.

점 [eqn: rmQ]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 점 [eqn: rmQ' LEFT ( itx _{2} ,`y _{2} RIGHT )]는 [eqn: x_{2} = c+k], [eqn: y_{2} = d]이므로

[eqn: (x_{2}-k-6)^{2} + y_{2}^{2} = r^{2}]을 만족한다.

[eqn: {y_{2} - y_{1}} over {x_{2} - x_{1}}]은 두 점 [eqn: rmP'], [eqn: rmQ']을 지나는 직선의 기울기이다.

이 기울기를 [eqn: m]이라 하고 직선의 방정식을 [eqn: y = mx + n]이라 하면, 이 직선은 두 원 [eqn: x^{2} + (y-6)^{2} = r^{2}]과 [eqn: (x-k-6)^{2} + y^{2} = r^{2}]과 각각 만나야 한다.

직선 [eqn: y = mx + n]이 원 [eqn: x^{2} + (y-6)^{2} = r^{2}]과 만나려면

[eqn: x^{2} + (mx+n-6)^{2} = r^{2}]

[eqn: (m^{2}+1)x^{2} + 2m(n-6)x + (n-6)^{2} - r^{2} = 0]

이 이차방정식이 실근을 가져야 하므로 판별식 [eqn: D_{1}]에 대하여

[eqn: {D_{1}} over {4} = m^{2}(n-6)^{2} - (m^{2}+1) left ( (n-6)^{2} - r^{2} right ) geq 0]

[eqn: m^{2}(n-6)^{2} - m^{2}(n-6)^{2} + m^{2} r^{2} - (n-6)^{2} + r^{2} geq 0]

[eqn: (n-6)^{2} leq r^{2}(m^{2}+1)]

[eqn: -r sqrt{m^{2}+1} leq n-6 leq r sqrt{m^{2}+1}]

[eqn: 6 - r sqrt{m^{2}+1} leq n leq 6 + r sqrt{m^{2}+1}] ……①

직선 [eqn: y = mx + n]이 원 [eqn: (x-k-6)^{2} + y^{2} = r^{2}]과 만나려면

[eqn: (x-k-6)^{2} + (mx+n)^{2} = r^{2}]

[eqn: (m^{2}+1)x^{2} + 2(mn-k-6)x + (k+6)^{2} + n^{2} - r^{2} = 0]

이 이차방정식이 실근을 가져야 하므로 판별식 [eqn: D_{2}]에 대하여

[eqn: {D_{2}} over {4} = (mn-k-6)^{2} - (m^{2}+1) left ( (k+6)^{2} + n^{2} - r^{2} right ) geq 0]

[eqn: m^{2} n^{2} - 2mn(k+6) + (k+6)^{2} - m^{2}(k+6)^{2} - m^{2} n^{2} + m^{2} r^{2} - (k+6)^{2} - n^{2} + r^{2} geq 0]

[eqn: -2mn(k+6) - m^{2}(k+6)^{2} + m^{2} r^{2} - n^{2} + r^{2} geq 0]

[eqn: n^{2} + 2m(k+6)n + m^{2}(k+6)^{2} - r^{2}(m^{2}+1) leq 0]

[eqn: (n + m(k+6))^{2} leq r^{2}(m^{2}+1)]

[eqn: -r sqrt{m^{2}+1} leq n + m(k+6) leq r sqrt{m^{2}+1}]

[eqn: -m(k+6) - r sqrt{m^{2}+1} leq n leq -m(k+6) + r sqrt{m^{2}+1}] ……②

①, ②를 동시에 만족하는 실수 [eqn: n]이 존재해야 하므로

[eqn: 6 - r sqrt{m^{2}+1} leq -m(k+6) + r sqrt{m^{2}+1}] 이고 [eqn: -m(k+6) - r sqrt{m^{2}+1} leq 6 + r sqrt{m^{2}+1}]

즉, [eqn: m(k+6) + 6 leq 2r sqrt{m^{2}+1}] 이고 [eqn: -m(k+6) - 6 leq 2r sqrt{m^{2}+1}]

따라서 [eqn: left | m(k+6) + 6 right | leq 2r sqrt{m^{2}+1}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: m^{2}(k+6)^{2} + 12m(k+6) + 36 leq 4r^{2}(m^{2}+1)]

[eqn: m^{2} left ( (k+6)^{2} - 4r^{2} right ) + 12m(k+6) + 36 - 4r^{2} leq 0] ……③

이 부등식을 만족하는 [eqn: m]의 범위가 [eqn: 0 leq m leq {4} over {3}]이므로

이차방정식 [eqn: m^{2} left ( (k+6)^{2} - 4r^{2} right ) + 12m(k+6) + 36 - 4r^{2} = 0]의 두 근이 [eqn: 0], [eqn: {4} over {3}]이고, 이차항의 계수 [eqn: (k+6)^{2} - 4r^{2} > 0]이어야 한다.

[eqn: m=0]을 대입하면 [eqn: 36 - 4r^{2} = 0]에서 [eqn: r^{2} = 9]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: r = 3]

[eqn: r=3]을 ③에 대입하면

[eqn: m^{2} left ( (k+6)^{2} - 36 right ) + 12m(k+6) leq 0]

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 두 근의 합은

[eqn: {-12(k+6)} over {(k+6)^{2} - 36} = 0 + {4} over {3} = {4} over {3}]

[eqn: -36(k+6) = 4 left ( (k+6)^{2} - 36 right )]

[eqn: -9(k+6) = (k+6)^{2} - 36]

[eqn: (k+6)^{2} + 9(k+6) - 36 = 0]

[eqn: (k+6+12)(k+6-3) = 0]

[eqn: k+6 = -12] 또는 [eqn: k+6 = 3]

이때 [eqn: (k+6)^{2} - 36 > 0]이어야 하므로 [eqn: k+6 = -12]

따라서 [eqn: k = -18]

∴ [eqn: left | r+k right | = left | 3 - 18 right | = 15]

따라서 정답은 [eqn: 15]이다.

두 실수 [eqn: a(a<1)], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{1-a} over {x-1} +2&``` LEFT ( ```x LEQ a RIGHT )#bx LEFT ( x-a RIGHT ) +1&``` LEFT ( x>a RIGHT )}}]
라 하자. 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍이 [eqn: (a_{1}, b_{1})], [eqn: (a_{2}, b_{2})]일 때, [eqn: -40 times (a_{1}+b_{1}+a_{2}+b_{2})]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: x leq 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq f(-2)]이다.

(나) 방정식 [eqn: left | f(x) right | = 2]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

[eqn: 250]

[eqn: x leq a]일 때 [eqn: f(x) = {1-a} over {x-1} + 2]이고 [eqn: a < 1]이므로 [eqn: 1-a > 0]이다.

이 구간에서 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: f(x)]의 값은 감소한다.

조건 (가)에서 [eqn: x leq 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq f(-2)]이므로 [eqn: x leq 0]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: x = -2]일 때의 값이다.

만약 [eqn: a > -2]이면 [eqn: x = -2]는 [eqn: x leq a] 구간에 속하고, 이 구간에서 [eqn: f(x)]의 값은 감소하므로 [eqn: a leq 0]일 때는 [eqn: f(-2) > f(a)]가 되고, [eqn: a > 0]일 때는 [eqn: f(-2) > f(0)]이 되어 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

따라서 [eqn: a leq -2]이다.

(ⅰ) [eqn: a = -2]인 경우

[eqn: x leq -2]에서 [eqn: f(x) = {3} over {x-1} + 2]의 값은 감소하므로 [eqn: f(x) geq f(-2) = 1]이다.

[eqn: -2 < x leq 0]에서 [eqn: f(x) = bx(x+2) + 1]이고 [eqn: f(x) geq f(-2) = 1]이어야 하므로 [eqn: bx(x+2) geq 0]이다.

[eqn: -2 < x < 0]에서 [eqn: x(x+2) < 0]이므로 [eqn: b leq 0]이다.

[eqn: b = 0]이면 [eqn: f(x) = 1]이 되어 조건 (나)를 만족시키지 못하므로 [eqn: b < 0]이다.

방정식 [eqn: left | f(x) right | = 2]의 근을 구하기 위해 [eqn: x leq -2]인 구간을 확인하면

[eqn: {3} over {x-1} + 2 = 2]는 해가 없고, [eqn: {3} over {x-1} + 2 = -2]에서 [eqn: x = {1} over {4}]이므로 [eqn: x leq -2]를 만족시키지 않는다.

따라서 [eqn: x > -2]에서 방정식 [eqn: left | bx(x+2) + 1 right | = 2]의 실근이 [eqn: 2]개이어야 한다.

[eqn: bx(x+2) + 1 = -2] 즉, [eqn: bx^{2} + 2bx + 3 = 0]의 근과 계수의 관계에서 두 근의 곱이 [eqn: {3} over {b} < 0]이므로 양수인 근 [eqn: 1]개, 음수인 근 [eqn: 1]개를 가진다.

두 근의 합이 [eqn: -2]이므로 음수인 근은 [eqn: -2]보다 작아 [eqn: x > -2] 범위에 속하지 않는다.

따라서 [eqn: f(x) = -2]는 [eqn: x > -2]에서 오직 [eqn: 1]개의 실근을 가진다.

조건 (나)를 만족시키려면 [eqn: f(x) = 2] 즉, [eqn: bx^{2} + 2bx - 1 = 0]이 [eqn: x > -2]에서 오직 [eqn: 1]개의 실근을 가져야 한다.

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D_{1}]이라 하면

[eqn: {D_{1}} over {4} = b^{2} + b = 0]

[eqn: b < 0]이므로 [eqn: b = -1]이고, 이때 중근 [eqn: x = -1 > -2]를 가지므로 조건을 만족시킨다.

∴ [eqn: (a_{1}, b_{1}) = (-2, -1)]

(ⅱ) [eqn: a < -2]인 경우

[eqn: -2 < 0]이고 [eqn: a < -2]이므로 [eqn: x = -2]에서 이차함수 [eqn: f(x) = bx(x-a) + 1]이 최솟값을 가져야 한다.

이차함수의 꼭짓점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2]이어야 하므로 [eqn: {a} over {2} = -2]에서 [eqn: a = -4]이고, 아래로 볼록해야 하므로 [eqn: b > 0]이다.

[eqn: x leq -4]에서 [eqn: f(x) = {5} over {x-1} + 2]의 값은 감소하므로 [eqn: f(x) geq f(-4) = 1]이다.

[eqn: -4 < x leq 0]에서 [eqn: f(x) = bx(x+4) + 1]의 최솟값은 [eqn: f(-2) = -4b + 1]이다.

[eqn: f(-4) geq f(-2)]에서 [eqn: 1 geq -4b + 1]이므로 [eqn: b geq 0]이 되어 [eqn: b > 0]과 모순되지 않는다.

방정식 [eqn: left | f(x) right | = 2]의 근을 구하기 위해 [eqn: x leq -4]인 구간을 확인하면

[eqn: {5} over {x-1} + 2 = 2]는 해가 없고, [eqn: {5} over {x-1} + 2 = -2]에서 [eqn: x = - {1} over {4}]이므로 [eqn: x leq -4]를 만족시키지 않는다.

따라서 [eqn: x > -4]에서 방정식 [eqn: left | bx(x+4) + 1 right | = 2]의 실근이 [eqn: 2]개이어야 한다.

[eqn: bx(x+4) + 1 = 2] 즉, [eqn: bx^{2} + 4bx - 1 = 0]의 근과 계수의 관계에서 두 근의 곱이 [eqn: - {1} over {b} < 0]이므로 양수인 근 [eqn: 1]개, 음수인 근 [eqn: 1]개를 가진다.

두 근의 합이 [eqn: -4]이므로 음수인 근은 [eqn: -4]보다 작아 [eqn: x > -4] 범위에 속하지 않는다.

따라서 [eqn: f(x) = 2]는 [eqn: x > -4]에서 오직 [eqn: 1]개의 실근을 가진다.

조건 (나)를 만족시키려면 [eqn: f(x) = -2] 즉, [eqn: bx^{2} + 4bx + 3 = 0]이 [eqn: x > -4]에서 오직 [eqn: 1]개의 실근을 가져야 한다.

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D_{2}]라 하면

[eqn: {D_{2}} over {4} = 4b^{2} - 3b = 0]

[eqn: b > 0]이므로 [eqn: b = {3} over {4}]이고, 이때 중근 [eqn: x = -2 > -4]를 가지므로 조건을 만족시킨다.

∴ [eqn: (a_{2}, b_{2}) = left ( -4, {3} over {4} right )]

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 순서쌍은 [eqn: (-2, -1)], [eqn: left ( -4, {3} over {4} right )]이다.

[eqn: -40 TIMES (a _{1} +b _{1} +a _{2} +b _{2} )=-40 TIMES LEFT ( -2-1-4+ {3} over {4} RIGHT ) =250]

따라서 정답은 [eqn: 250]이다.