수학ETF	2023_고2_11월	기출문제
	1~30

[eqn: 8^{- {1} over {2}} div sqrt{2}]의 값은?

②

[eqn: 8^{- {1} over {2}} div sqrt{2} = (2^{3})^{- {1} over {2}} div 2^{1 over 2}]

[eqn: = 2^{- {3} over {2}} div 2^{1 over 2}][eqn: = 2^{- {3} over {2} - {1} over {2}}][eqn: = 2^{-2}][eqn: = {1} over {4}]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

곡선 [eqn: y = x^{3} + x^{2} - 5] 위의 점 [eqn: (1,`-3)]에서의 접선의 기울기는?

①

[eqn: f(x) = x^{3} + x^{2} - 5]라 하면

[eqn: f'(x) = 3x^{2} + 2x]

곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점 [eqn: (1, -3)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: x = 1]에서의 미분계수 [eqn: f'(1)]과 같으므로

[eqn: f'(1) = 3 times 1^{2} + 2 times 1 = 5]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

네 수 [eqn: 2], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 14]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a+b]의 값은?

⑤

네 수 [eqn: 2], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 14]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 공차를 [eqn: d]라 하면

첫째항이 [eqn: 2]이고 제[eqn: 4]항이 [eqn: 14]이므로

[eqn: 2 + 3d = 14]

[eqn: 3d = 12]

∴ [eqn: d = 4]

따라서 [eqn: a = 2 + 4 = 6], [eqn: b = 6 + 4 = 10]이므로

[eqn: a + b = 6 + 10 = 16]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim_{x rightarrow 0-} f(x) + lim_{x rightarrow 2+} f(x)]의 값은?

④

주어진 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서

[eqn: x -> 0-]일 때, [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 4]에 한없이 가까워지므로

[eqn: lim from {x -> 0-} f(x) = 4]

[eqn: x -> 2+]일 때, [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: 2]에 한없이 가까워지므로

[eqn: lim from {x -> 2+} f(x) = 2]

∴ [eqn: lim from {x -> 0-} f(x) + lim from {x -> 2+} f(x) = 4 + 2 = 6]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: 0 < x < 5 pi]에서 함수 [eqn: y = tan x]의 그래프와 직선 [eqn: y = 2]가 만나는 점의 개수는?

③

함수 [eqn: y = tan x]의 주기는 [eqn: pi]이다.

구간 [eqn: 0 < x < 5 pi]에서 함수 [eqn: y = tan x]의 그래프는 주기가 [eqn: pi]인 모양이 [eqn: 5]번 반복된다.

각 주기마다 함수 [eqn: y = tan x]의 그래프는 직선 [eqn: y = 2]와 오직 한 점에서 만난다.

즉, 구간 [eqn: 0 < x < pi], [eqn: pi < x < 2 pi], [eqn: 2 pi < x < 3 pi], [eqn: 3 pi < x < 4 pi], [eqn: 4 pi < x < 5 pi]에서 각각 [eqn: 1]개의 교점을 갖는다.

∴ 교점의 총 개수는 [eqn: 5]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ax ^{2} +bx+1&``` LEFT ( x<1 RIGHT )#-3bx-1&``` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]
이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

③

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 [eqn: x=1]에서 연속이고 미분가능하다.

[eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim from {x -> 1-} f(x) = f(1)]에서 [eqn: a+4b = -2] ……①

또한 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로

[eqn: f'(x) = left { matrix { 2ax+b & left ( x < 1 right ) # -3b & left ( x > 1 right ) } right .]에서 [eqn: lim from {x -> 1-} f'(x) = lim from {x -> 1+} f'(x)]이므로

[eqn: a+2b = 0] ……②

①, ②를 연립하여 풀면 [eqn: a = 2], [eqn: b = -1]

∴ [eqn: a+b = 2 + (-1) = 1]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f'(x)=3x^{2}-6x]이고 [eqn: f(1)=1]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은? [[eqn: 3]점]

②

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 6x]이므로 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: f(x) = int (3x^{2} - 6x) dx = x^{3} - 3x^{2} + C] ([eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(1) = 1]이므로 [eqn: 1^{3} - 3 times 1^{2} + C = 1], [eqn: C = 3]

[eqn: f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3]

[eqn: f'(x) = 3x(x - 2) = 0]에서 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: x = 2]

[eqn: x = 2]의 좌우에서 [eqn: f'(x)]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = 2]에서 극소이다.

극솟값은 [eqn: f(2) = 2^{3} - 3 times 2^{2} + 3 = 8 - 12 + 3 = -1]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

곡선 [eqn: y = {1} over {16} times left ( {1} over {2} right )^{x-m}]이 곡선 [eqn: y = 2^{x} + 1]과 제[eqn: 1]사분면에서 만나도록 하는 자연수 [eqn: m]의 최솟값은?

③

두 함수를 [eqn: f(x) = {1} over {16} times left ( {1} over {2} right )^{x-m}], [eqn: g(x) = 2^{x} + 1]이라 하면

[eqn: f(x) = 2^{-4} times 2^{-x+m} = 2^{-x+m-4}]이다.

함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: y]의 값은 감소하고, 함수 [eqn: y = g(x)]의 그래프는 [eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: y]의 값은 증가한다.

두 곡선이 제[eqn: 1]사분면에서 만나려면 교점의 [eqn: x]좌표가 양수이어야 하므로 [eqn: x=0]일 때 [eqn: f(0) > g(0)]이어야 한다.

[eqn: f(0) = 2^{m-4}], [eqn: g(0) = 2^{0} + 1 = 2]이므로

[eqn: 2^{m-4} > 2]에서 [eqn: m > 5]

따라서 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 최솟값은 [eqn: 6]이다.

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 2 sin left ( {pi} over {2} - theta right ) = sin theta times tan ( pi + theta )]일 때, [eqn: sin^{2} theta]의 값은?

④

삼각함수의 성질에 의해

[eqn: sin left ( {pi} over {2} - theta right ) = cos theta], [eqn: tan ( pi + theta ) = tan theta = {sin theta} over {cos theta}]

주어진 식에 대입하면

[eqn: 2 cos theta = sin theta times {sin theta} over {cos theta}], [eqn: 2 cos theta = {sin^{2} theta} over {cos theta}]

양변에 [eqn: cos theta]를 곱하면

[eqn: 2 cos^{2} theta = sin^{2} theta]

[eqn: cos^{2} theta = 1 - sin^{2} theta]이므로

[eqn: 2 ( 1 - sin^{2} theta ) = sin^{2} theta], [eqn: 2 - 2 sin^{2} theta = sin^{2} theta], [eqn: 3 sin^{2} theta = 2]

∴ [eqn: sin^{2} theta = {2} over {3}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {4} over {9}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {7} over {9}]

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x) = x + int_{0}^{2} f(t) dt]
를 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값은?

①

[eqn: int_{0}^{2} f(t) dt]는 상수이므로 [eqn: int_{0}^{2} f(t) dt = k] ([eqn: k]는 상수)라 하면

[eqn: f(x) = x + k]

이때 [eqn: k = int_{0}^{2} f(t) dt]이므로

[eqn: k = int_{0}^{2} (t + k) dt][eqn: = left [ {1} over {2} t^{2} + kt right ]_{0}^{2}][eqn: = 2 + 2k]

[eqn: k = 2 + 2k]에서 [eqn: k = -2]

따라서 [eqn: f(x) = x - 2]이므로 [eqn: f(3) = 3 - 2 = 1]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: a_{3} = 6]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{4} + a_{5} = 2(a_{6} + a_{7}) + 3(a_{8} + a_{9})]일 때, [eqn: a_{1}]의 값은?

⑤

등비수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r] ([eqn: r > 0])이라 하면

[eqn: a_{3} = a r^{2} = 6] ……①

주어진 조건에서 [eqn: a_{4} + a_{5} = 2(a_{6} + a_{7}) + 3(a_{8} + a_{9})]이므로

[eqn: a r^{3} + a r^{4} = 2(a r^{5} + a r^{6}) + 3(a r^{7} + a r^{8})]

[eqn: a r^{3} (1 + r) = 2 a r^{5} (1 + r) + 3 a r^{7} (1 + r)]

[eqn: r > 0]이므로 [eqn: a neq 0], [eqn: 1 + r neq 0], [eqn: r^{3} neq 0]이다.

양변을 [eqn: a r^{3} (1 + r)]로 나누면

[eqn: 1 = 2 r^{2} + 3 r^{4}], [eqn: 3 r^{4} + 2 r^{2} - 1 = 0], [eqn: (3 r^{2} - 1)(r^{2} + 1) = 0]

[eqn: r]은 실수이므로 [eqn: r^{2} + 1 > 0]에서 [eqn: 3 r^{2} - 1 = 0] ∴ [eqn: r^{2} = {1} over {3}]

①에 [eqn: r^{2} = {1} over {3}]을 대입하면 [eqn: a times {1} over {3} = 6] ∴ [eqn: a = 18]

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x)=(x^{2}-2x)f(x)]
라 하자. [eqn: g'(0)+g'(2)=16]일 때, [eqn: f(2)-f(0)]의 값은?

②

함수 [eqn: g(x) = (x^{2} - 2x)f(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 곱의 미분법에 의해

[eqn: g'(x) = (2x - 2)f(x) + (x^{2} - 2x)f'(x)]

여기에 [eqn: x = 0], [eqn: x = 2]를 각각 대입하면

[eqn: g'(0) = -2f(0)]

[eqn: g'(2) = 2f(2)]

주어진 조건에서 [eqn: g'(0) + g'(2) = 16]이므로

[eqn: -2f(0) + 2f(2) = 16]

[eqn: 2(f(2) - f(0)) = 16]

∴ [eqn: f(2) - f(0) = 8]

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

두 수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { b_{n} right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} + b_{n} = n]을 만족시킨다. [eqn: sum_{k=1}^{10} (3a_{k} + 1) = 40]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} b_{k}]의 값은?

④

[eqn: sum from {k=1} to {10} (3a_{k} + 1) = 40]에서 시그마의 성질에 의해

[eqn: 3 sum from {k=1} to {10} a_{k} + sum from {k=1} to {10} 1 = 40], [eqn: 3 sum from {k=1} to {10} a_{k} + 10 = 40], [eqn: 3 sum from {k=1} to {10} a_{k} = 30]

∴ [eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} = 10]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} + b_{n} = n]이므로

[eqn: sum from {k=1} to {10} (a_{k} + b_{k}) = sum from {k=1} to {10} k]

[eqn: sum from {k=1} to {10} a_{k} + sum from {k=1} to {10} b_{k} = {10 times 11} over {2} = 55], [eqn: 10 + sum from {k=1} to {10} b_{k} = 55]

∴ [eqn: sum from {k=1} to {10} b_{k} = 45]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

자연수 [eqn: n][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]에 대하여 [eqn: m-2n]의 [eqn: n]제곱근 중에서 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: f(2)+f(3)+f(4)=3]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합은?

①

[eqn: f(n)]은 [eqn: m-2n]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수이다.

[eqn: n]이 홀수일 때, 양수, [eqn: 0], 음수의 홀수 제곱근 중 실수인 것은 항상 [eqn: 1]개이므로 [eqn: f(3) = 1]이다.

조건에서 [eqn: f(2) + f(3) + f(4) = 3]이므로

[eqn: f(2) + 1 + f(4) = 3] ∴ [eqn: f(2) + f(4) = 2]

[eqn: n]이 짝수일 때, 양수의 짝수 제곱근 중 실수인 것은 [eqn: 2]개, [eqn: 0]의 짝수 제곱근 중 실수인 것은 [eqn: 1]개, 음수의 짝수 제곱근 중 실수인 것은 [eqn: 0]개이다.

따라서 [eqn: f(2)]와 [eqn: f(4)]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]이다.

[eqn: f(2) + f(4) = 2]가 되는 경우는 다음과 같이 세 가지로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: f(2) = 2], [eqn: f(4) = 0]인 경우

[eqn: f(2) = 2]에서 [eqn: m-4 > 0]이므로 [eqn: m > 4]

[eqn: f(4) = 0]에서 [eqn: m-8 < 0]이므로 [eqn: m < 8]

따라서 [eqn: 4 < m < 8]이므로 이를 만족시키는 자연수 [eqn: m]은 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이다.

(ⅱ) [eqn: f(2) = 1], [eqn: f(4) = 1]인 경우

[eqn: f(2) = 1]에서 [eqn: m-4 = 0]이므로 [eqn: m = 4]

[eqn: f(4) = 1]에서 [eqn: m-8 = 0]이므로 [eqn: m = 8]

이를 동시에 만족시키는 [eqn: m]은 존재하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: f(2) = 0], [eqn: f(4) = 2]인 경우

[eqn: f(2) = 0]에서 [eqn: m-4 < 0]이므로 [eqn: m < 4]

[eqn: f(4) = 2]에서 [eqn: m-8 > 0]이므로 [eqn: m > 8]

이를 동시에 만족시키는 [eqn: m]은 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: m]의 값은 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이다.

모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: 5 + 6 + 7 = 18]이다.

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 18]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 38]

수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때, 두 수열 [eqn: left { a_{n} right }], [eqn: left { S_{n} right }]과 상수 [eqn: k]가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} + S_{n} = k]이다.

[eqn: S_{6} = 189]일 때, [eqn: k]의 값은?

①

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} + S_{n} = k] ……①

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a_{1} + S_{1} = k]이고 [eqn: S_{1} = a_{1}]이므로

[eqn: 2S_{1} = k]에서 [eqn: S_{1} = {k} over {2}]

[eqn: n geq 2]일 때, [eqn: a_{n} = S_{n} - S_{n-1}]이므로 ①에 대입하면

[eqn: (S_{n} - S_{n-1}) + S_{n} = k]

[eqn: 2S_{n} - S_{n-1} = k]

[eqn: S_{n} = {1} over {2} S_{n-1} + {k} over {2}]

양변에서 [eqn: k]를 빼면

[eqn: S_{n} - k = {1} over {2} S_{n-1} - {k} over {2} = {1} over {2} (S_{n-1} - k)]

따라서 수열 [eqn: left { S_{n} - k right }]는 첫째항이 [eqn: S_{1} - k = {k} over {2} - k = -{k} over {2}]이고 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이다.

[eqn: S_{n} - k = -{k} over {2} left ( {1} over {2} right )^{n-1} = -k left ( {1} over {2} right )^{n}]

[eqn: S_{n} = k - k left ( {1} over {2} right )^{n} = k left ( 1 - left ( {1} over {2} right )^{n} right )]

[eqn: S_{6} = 189]이므로

[eqn: S_{6} = k left ( 1 - left ( {1} over {2} right )^{6} right ) = k left ( 1 - {1} over {64} right ) = {63} over {64} k = 189]

[eqn: k = 189 times {64} over {63} = 3 times 64 = 192]

따라서 정답은 ①이다.

① [eqn: 192]	② [eqn: 196]	③ [eqn: 200]

④ [eqn: 204]	⑤ [eqn: 208]

[eqn: 0 < t < 3]인 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: y = left | {2} over {x} - 3 right |]의 그래프와 직선 [eqn: y = t]가 만나는 두 점 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: lim_{t -> 0+} {f(t)} over {t}]의 값은?

함수 [eqn: y = left | {2} over {x} - 3 right |]의 그래프와 직선 [eqn: y = t]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 구하기 위해 방정식을 세우면 [eqn: left | {2} over {x} - 3 right | = t]

[eqn: 0 < t < 3]이므로

[eqn: x = {2} over {3+t}] 또는 [eqn: x = {2} over {3-t}]

[eqn: 0 < t < 3]에서 [eqn: 3+t > 3-t > 0]이므로 [eqn: {2} over {3-t} > {2} over {3+t}]이다.

두 점 사이의 거리 [eqn: f(t)]는 [eqn: f(t) = {4t} over {9 - t^{2}}]

구하고자 하는 극한값은

[eqn: lim from {t -> 0+} {f(t)} over {t} = lim from {t -> 0+} left ( {1} over {t} times {4t} over {9 - t^{2}} right )]

[eqn: lim from {t -> 0+} {f(t)} over {t} = lim from {t -> 0+} {4} over {9 - t^{2}}]

[eqn: lim from {t -> 0+} {f(t)} over {t} = {4} over {9}]

따라서 정답은 ③이다.

① [eqn: {2} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {4} over {9}]

④ [eqn: {5} over {9}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

[eqn: 1]이 아닌 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가
[eqn: -4log` _{a} `b=54log` _{b} `c=log` _{c} `a]
를 만족시킨다. [eqn: b times c]의 값이 [eqn: 300] 이하의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합은?

⑤

[eqn: -4 log_{a} b = 54 log_{b} c = log_{c} a = k]라 하면

[eqn: log_{a} b = -{k} over {4}], [eqn: log_{b} c = {k} over {54}], [eqn: log_{c} a = k]

세 식을 곱하면

[eqn: log_{a} b times log_{b} c times log_{c} a = left ( -{k} over {4} right ) times {k} over {54} times k]

로그의 밑의 변환 공식에 의해 좌변은 [eqn: 1]이므로

[eqn: 1 = -{k^{3}} over {216}], [eqn: k^{3} = -216] ∴ [eqn: k = -6]

[eqn: k = -6]을 대입하면

[eqn: log_{a} b = {3} over {2}]에서 [eqn: b = a^{{3} over {2}}]

[eqn: log_{c} a = -6]에서 [eqn: c = a^{-{1} over {6}}]

[eqn: b times c]를 [eqn: a]에 대한 식으로 나타내면

[eqn: b times c = a^{{3} over {2}} times a^{-{1} over {6}} = a^{{9} over {6} - {1} over {6}} = a^{{4} over {3}}]

[eqn: b times c]가 자연수가 되려면 자연수 [eqn: a]는 어떤 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a = n^{3}] 꼴이어야 한다.

이때 [eqn: a neq 1]이므로 [eqn: n geq 2]인 자연수이다.

[eqn: b times c = (n^{3})^{{4} over {3}} = n^{4}]이고, 이 값이 [eqn: 300] 이하이어야 하므로

[eqn: n^{4} leq 300]

이를 만족시키는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

[eqn: n = 2]일 때, [eqn: a = 2^{3} = 8]

[eqn: n = 3]일 때, [eqn: a = 3^{3} = 27]

[eqn: n = 4]일 때, [eqn: a = 4^{3} = 64]

따라서 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 8 + 27 + 64 = 99]이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

① [eqn: 91]	② [eqn: 93]	③ [eqn: 95]

④ [eqn: 97]	⑤ [eqn: 99]

그림과 같이 [eqn: rm2 overline{AB} = overline{AC}]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM], 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 3:5]로 내분하는 점을 [eqn: rmN]이라 하자. [eqn: rmoverline{MN} = overline{AB}]이고, 삼각형 [eqn: rmAMN]의 외접원의 넓이가 [eqn: 16 pi]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?

④

[eqn: {bar{rmAB}} =2a]라 하면 [eqn: 2 {bar{rmAB}} = {bar{rmAC}}]에서 [eqn: {bar{rmAC}} =4a]이다.

점 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmAB]의 중점이므로 [eqn: rm {bar{AM}} =ita]

점 [eqn: rmN]은 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 3:5]로 내분하는 점이므로 [eqn: rm {bar{AN}} = {3} over {8} {bar{AC}} = {3} over {8} TIMES 4ita= {3} over {2} a]

조건에서 [eqn: rmoverline{MN} = overline{AB}]이므로 [eqn: rm {bar{MN}} =2jita]이다.

삼각형 [eqn: rmAMN]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmcos A = { overline{AM}^{2} + overline{AN}^{2} - overline{MN}^{2} } over { 2 times overline{AM} times overline{AN} }][eqn: = { a^{2} + left ( {3} over {2} a right )^{2} - (2a)^{2} } over { 2 times a times {3} over {2} a }]

[eqn: = { a^{2} + {9} over {4} a^{2} - 4a^{2} } over { 3a^{2} }][eqn: = { - {3} over {4} a^{2} } over { 3a^{2} } = - {1} over {4}]

[eqn: sin A > 0]이므로

[eqn: sin A = sqrt{ 1 - cos^{2} A } = sqrt{ 1 - left ( - {1} over {4} right )^{2} } = {sqrt{15}} over {4}]

삼각형 [eqn: rmAMN]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하면, 외접원의 넓이가 [eqn: 16 pi]이므로

[eqn: pi R^{2} = 16 pi]에서 [eqn: R = 4]

삼각형 [eqn: rmAMN]에서 사인법칙에 의해

[eqn: rm {{bar{rmMN}}} over {sinA} =2R]에서 [eqn: a = sqrt{15}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는

[eqn: rm{1} over {2} times overline{AB} times overline{AC} times sin A = {1} over {2} times 2a times 4a times sin A]

[eqn: = 4a^{2} sin A][eqn: = 4 times ( sqrt{15} )^{2} times {sqrt{15}} over {4}][eqn: = 15 sqrt{15}]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 24 sqrt{3}]	② [eqn: 13 sqrt{13}]	③ [eqn: 14 sqrt{14}]

④ [eqn: 15 sqrt{15}]	⑤ [eqn: 64]

실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+k]이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=3n]과 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. [eqn: sum_{n=1}^{4} a_{n} = 7]을 만족시키는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

②

함수 [eqn: f(x)]의 도함수는 [eqn: f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)]이다.

[eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: x = 1] 또는 [eqn: x = 3]이다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x < 1]에서 증가, [eqn: 1 < x < 3]에서 감소, [eqn: x > 3]에서 증가하므로

[eqn: x = 1]일 때 함숫값은 [eqn: f(1) = k + 4]이고, [eqn: x = 3]일 때 함숫값은 [eqn: f(3) = k]이다.

[eqn: a_{n}]은 직선 [eqn: y = 3n]과 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 만나는 점의 개수이므로

[eqn: 3n > k + 4] 또는 [eqn: 3n < k]일 때 [eqn: a_{n} = 1]

[eqn: 3n = k + 4] 또는 [eqn: 3n = k]일 때 [eqn: a_{n} = 2]

[eqn: k < 3n < k + 4]일 때 [eqn: a_{n} = 3]

[eqn: sum from {n=1} to {4} a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = 7]이고 [eqn: a_{n} in left { 1, 2, 3 right }]이므로 [eqn: a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}] 중 하나는 [eqn: 2], 하나는 [eqn: 3], 나머지 두 개는 [eqn: 1]이다.

(ⅰ) [eqn: 3n = k + 4]인 자연수 [eqn: n]이 존재하는 경우

[eqn: k = 3n - 4]이므로 [eqn: x=3]일 때 함숫값은 [eqn: 3n - 4], [eqn: x=1]일 때 함숫값은 [eqn: 3n]이다.

[eqn: n = 1]일 때 [eqn: k = -1]이면 [eqn: a_{1} = 2], [eqn: a_{2} = 1], [eqn: a_{3} = 1], [eqn: a_{4} = 1]이므로 합은 [eqn: 5]이다.

[eqn: n = 2]일 때 [eqn: k = 2]이면 [eqn: a_{1} = 3], [eqn: a_{2} = 2], [eqn: a_{3} = 1], [eqn: a_{4} = 1]이므로 합은 [eqn: 7]이다. ∴ [eqn: k = 2]

[eqn: n = 3]일 때 [eqn: k = 5]이면 [eqn: a_{1} = 1], [eqn: a_{2} = 3], [eqn: a_{3} = 2], [eqn: a_{4} = 1]이므로 합은 [eqn: 7]이다. ∴ [eqn: k = 5]

[eqn: n = 4]일 때 [eqn: k = 8]이면 [eqn: a_{1} = 1], [eqn: a_{2} = 1], [eqn: a_{3} = 3], [eqn: a_{4} = 2]이므로 합은 [eqn: 7]이다. ∴ [eqn: k = 8]

(ⅱ) [eqn: 3n = k]인 자연수 [eqn: n]이 존재하는 경우

[eqn: k = 3n]이므로 [eqn: x=3]일 때 함숫값은 [eqn: 3n], [eqn: x=1]일 때 함숫값은 [eqn: 3n + 4]이다.

[eqn: n = 1]일 때 [eqn: k = 3]이면 [eqn: a_{1} = 2], [eqn: a_{2} = 3], [eqn: a_{3} = 1], [eqn: a_{4} = 1]이므로 합은 [eqn: 7]이다. ∴ [eqn: k = 3]

[eqn: n = 2]일 때 [eqn: k = 6]이면 [eqn: a_{1} = 1], [eqn: a_{2} = 2], [eqn: a_{3} = 3], [eqn: a_{4} = 1]이므로 합은 [eqn: 7]이다. ∴ [eqn: k = 6]

[eqn: n = 3]일 때 [eqn: k = 9]이면 [eqn: a_{1} = 1], [eqn: a_{2} = 1], [eqn: a_{3} = 2], [eqn: a_{4} = 3]이므로 합은 [eqn: 7]이다. ∴ [eqn: k = 9]

[eqn: n = 4]일 때 [eqn: k = 12]이면 [eqn: a_{1} = 1], [eqn: a_{2} = 1], [eqn: a_{3} = 1], [eqn: a_{4} = 2]이므로 합은 [eqn: 5]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 [eqn: k]의 값은 [eqn: 2, 3, 5, 6, 8, 9]이므로 그 합은 [eqn: 33]이다.

따라서 정답은 ②이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 42]

함수 [eqn: f(x)=(x+1)(x-6)^{2}]과 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)]를 다음과 같이 정의한다.

두 점 [eqn: LEFT ( 0,`0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( t,`f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]를 지나는 직선의 기울기와 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( k,`f LEFT ( k RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 같아지는 양의 실수 [eqn: k]의 개수가

[eqn: 1]이면 [eqn: k]의 값을 [eqn: g(t)],

[eqn: 2]이면 [eqn: k]의 값 중 작은 값을 [eqn: g(t)]라 한다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f'(0)=24] ㄴ. [eqn: g(6)={4} over {3}] ㄷ. 함수 [eqn: g(t)]의 치역의 원소가 아닌 모든 자연수의 합은 [eqn: 27]이다.

⑤

[eqn: f(x) = (x+1)(x-6)^{2} = x^{3} - 11x^{2} + 24x + 36]이므로

[eqn: f'(x) = 3x^{2} - 22x + 24 = (3x-4)(x-6)]

ㄱ. [eqn: f'(0) = 24]

따라서 ㄱ은 참이다.

ㄴ. 두 점 [eqn: (0, 0)], [eqn: (t, f(t))]를 지나는 직선의 기울기를 [eqn: m(t)]라 하면 [eqn: m(t) = {f(t) - 0} over {t - 0} = {(t+1)(t-6)^{2}} over {t}]

[eqn: t=6]일 때, [eqn: m(6) = 0]이므로 [eqn: f'(k) = 0]을 만족하는 양수 [eqn: k]를 찾으면

[eqn: (3k-4)(k-6) = 0]에서 [eqn: k = {4} over {3}] 또는 [eqn: k = 6]

양수 [eqn: k]가 [eqn: 2]개이므로 [eqn: g(6)]은 이 중 작은 값이다.

∴ [eqn: g(6) = {4} over {3}]

따라서 ㄴ은 참이다.

ㄷ. [eqn: m(t) = {t^{3} - 11t^{2} + 24t + 36} over {t} = t^{2} - 11t + 24 + {36} over {t}] ([eqn: t > 0])

[eqn: m'(t) = 2t - 11 - {36} over {t^{2}} = {2t^{3} - 11t^{2} - 36} over {t^{2}} = {(t-6)(2t^{2}+t+6)} over {t^{2}}]

[eqn: t > 0]에서 [eqn: 2t^{2}+t+6 > 0]이므로 [eqn: m'(t) = 0]을 만족하는 값은 [eqn: t = 6]뿐이다.

[eqn: t=6] 좌우에서 [eqn: m'(t)]의 부호가 음에서 양으로 변하므로 [eqn: m(t)]는 [eqn: t=6]에서 최솟값 [eqn: m(6) = 0]을 갖는다.

즉, [eqn: t > 0]일 때 [eqn: m(t) geq 0]이다.

이제 [eqn: f'(k) = m(t)]를 만족하는 양수 [eqn: k]의 개수와 그 값을 분석하면

[eqn: f'(k) = 3k^{2} - 22k + 24]의 그래프는 꼭짓점이 [eqn: left ( {11} over {3}, -{49} over {3} right )]이고 아래로 볼록한 포물선이며, [eqn: y]절편은 [eqn: 24]이다.

[eqn: m(t) geq 0]이므로 직선 [eqn: y = m(t)]와 곡선 [eqn: y = f'(k)] ([eqn: k > 0])의 교점을 생각하면

(ⅰ) [eqn: 0 leq m(t) < 24]일 때

교점이 [eqn: 2]개 발생하며, 두 교점의 [eqn: k]좌표 중 작은 값은 [eqn: 0 < k leq {4} over {3}] 범위에 존재한다.

이때 [eqn: g(t)]는 작은 값이므로 [eqn: 0 < g(t) leq {4} over {3}]이다.

(ⅱ) [eqn: m(t) geq 24]일 때

교점이 [eqn: 1]개 발생하며, [eqn: f' left ( {22} over {3} right ) = 24]이므로 이 교점의 [eqn: k]좌표는 [eqn: k geq {22} over {3}] 범위에 존재한다.

이때 [eqn: g(t)]는 이 값이므로 [eqn: g(t) geq {22} over {3}]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 함수 [eqn: g(t)]의 치역은 [eqn: 0 < g(t) leq {4} over {3}] 또는 [eqn: g(t) geq {22} over {3}]이다.

치역의 원소가 아닌 자연수는 [eqn: {4} over {3}]과 [eqn: {22} over {3}] 사이에 있는 자연수이므로 [eqn: 2, 3, 4, 5, 6, 7]이다.

이들의 합은 [eqn: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 27]이다.

따라서 ㄷ은 참이다.

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이므로

따라서 정답은 ⑤이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left { a_{n} right }]에 대하여 [eqn: a_{1}]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은?

(가) [eqn: a_{5} = 63]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+2} = {cases{a _{n+1} +a _{n}&``` LEFT ( a _{n+1} TIMES a _{n} 이``홀수인``경우 RIGHT )#a _{n+1} +a _{n} -2&``` LEFT ( a _{n+1} TIMES a _{n} 이``짝수인``경우 RIGHT )}}]
이다.

④

조건 (나)에 의해 [eqn: a_{n+2}]의 값은 다음과 같이 결정된다.

[eqn: a_{n+1}], [eqn: a_{n}]이 모두 홀수이면 [eqn: a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}] (짝수)

[eqn: a_{n+1}], [eqn: a_{n}] 중 적어도 하나가 짝수이면 [eqn: a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} - 2]

조건 (가)에서 [eqn: a_{5} = 63] (홀수)이므로 [eqn: a_{4}]와 [eqn: a_{3}]의 홀짝성은 (짝수, 홀수) 또는 (홀수, 짝수)이다.

(만약 둘 다 홀수이거나 둘 다 짝수이면 [eqn: a_{5}]는 짝수가 되어 모순이다.)

(ⅰ) [eqn: a_{4}]가 짝수, [eqn: a_{3}]이 홀수인 경우

[eqn: a_{5} = a_{4} + a_{3} - 2 = 63]에서 [eqn: a_{3} = 65 - a_{4}]

[eqn: a_{3}]이 홀수이므로 [eqn: a_{2}]가 짝수라면 [eqn: a_{4} = a_{3} + a_{2} - 2]에서 [eqn: a_{2} = a_{4} - a_{3} + 2 = 2a_{4} - 63] (홀수)이 되어 모순이다.

따라서 [eqn: a_{2}]는 홀수이고 [eqn: a_{4} = a_{3} + a_{2}]에서 [eqn: a_{2} = a_{4} - a_{3} = 2a_{4} - 65]

[eqn: a_{2}]와 [eqn: a_{3}]이 모두 홀수이므로 [eqn: a_{1}]이 홀수라면 [eqn: a_{3} = a_{2} + a_{1}]에서 [eqn: a_{1} = a_{3} - a_{2} = 130 - 3a_{4}] (짝수)가 되어 모순이다.

따라서 [eqn: a_{1}]은 짝수이고 [eqn: a_{3} = a_{2} + a_{1} - 2]에서 [eqn: a_{1} = a_{3} - a_{2} + 2 = 132 - 3a_{4}]

모든 항이 자연수이므로 [eqn: a_{3} > 0], [eqn: a_{2} > 0], [eqn: a_{1} > 0]에서

[eqn: 65 - a_{4} > 0], [eqn: 2a_{4} - 65 > 0], [eqn: 132 - 3a_{4} > 0]

∴ [eqn: 32.5 < a_{4} < 44]

[eqn: a_{4}]는 짝수이므로 [eqn: a_{4} in left { 34, 36, 38, 40, 42 right }]

이때 [eqn: a_{1} = 132 - 3a_{4}]이므로 [eqn: a_{1} in left { 6, 12, 18, 24, 30 right }]

(ⅱ) [eqn: a_{4}]가 홀수, [eqn: a_{3}]이 짝수인 경우

[eqn: a_{5} = a_{4} + a_{3} - 2 = 63]에서 [eqn: a_{3} = 65 - a_{4}]

[eqn: a_{3}]이 짝수이므로 [eqn: a_{2}]가 짝수라면 [eqn: a_{4} = a_{3} + a_{2} - 2]에서 [eqn: a_{2} = a_{4} - a_{3} + 2 = 2a_{4} - 63] (홀수)이 되어 모순이다.

따라서 [eqn: a_{2}]는 홀수이고 [eqn: a_{4} = a_{3} + a_{2} - 2]에서 [eqn: a_{2} = a_{4} - a_{3} + 2 = 2a_{4} - 63]

[eqn: a_{2}]가 홀수, [eqn: a_{3}]이 짝수이므로 [eqn: a_{1}]이 짝수라면 [eqn: a_{3} = a_{2} + a_{1} - 2]에서 [eqn: a_{1} = a_{3} - a_{2} + 2 = 130 - 3a_{4}] (홀수)가 되어 모순이다.

따라서 [eqn: a_{1}]은 홀수이고 [eqn: a_{3} = a_{2} + a_{1}]에서 [eqn: a_{1} = a_{3} - a_{2} = 128 - 3a_{4}]

모든 항이 자연수이므로 [eqn: a_{3} > 0], [eqn: a_{2} > 0], [eqn: a_{1} > 0]에서

[eqn: 65 - a_{4} > 0], [eqn: 2a_{4} - 63 > 0], [eqn: 128 - 3a_{4} > 0]

∴ [eqn: 31.5 < a_{4} < 42.6]

[eqn: a_{4}]는 홀수이므로 [eqn: a_{4} in left { 33, 35, 37, 39, 41 right }]

이때 [eqn: a_{1} = 128 - 3a_{4}]이므로 [eqn: a_{1} in left { 5, 11, 17, 23, 29 right }]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a_{1}]의 최댓값 [eqn: M = 30], 최솟값 [eqn: m = 5]이다.

∴ [eqn: M - m = 30 - 5 = 25]

따라서 정답은 ④이다.

① [eqn: 16]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 28]

[eqn: lim_{x -> 3} {x-3} over {sqrt{x+1}-2}] 의 값을 구하시오.

[eqn: 4]

분모와 분자에 [eqn: sqrt{x+1}+2]를 곱하여 분모를 유리화하면

[eqn: lim from {x -> 3} {x-3} over {sqrt{x+1}-2}][eqn: = lim from {x -> 3} {(x-3)(sqrt{x+1}+2)} over {(sqrt{x+1}-2)(sqrt{x+1}+2)}]

[eqn: = lim from {x -> 3} {(x-3)(sqrt{x+1}+2)} over {x+1-4}][eqn: = lim from {x -> 3} {(x-3)(sqrt{x+1}+2)} over {x-3}]

[eqn: = lim from {x -> 3} (sqrt{x+1}+2)][eqn: = sqrt{3+1}+2][eqn: = 2+2 = 4]

따라서 정답은 [eqn: 4]이다.

중심각의 크기가 [eqn: {4} over {5} pi]이고 호의 길이가 [eqn: 12 pi]인 부채꼴의 반지름의 길이를 구하시오.

[eqn: 15]

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

부채꼴의 호의 길이 [eqn: l]은 [eqn: l = r theta]이므로

[eqn: 12 pi = r times {4} over {5} pi]

[eqn: r = 12 pi times {5} over {4 pi} = 15]

따라서 정답은 [eqn: 15]이다.

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+2x^{2}+2]에 대하여 [eqn: lim_{x rightarrow 1} {1} over {x-1} int_{1}^{x} f'(t)dt]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

[eqn: int from {1} to {x} f'(t) dt = f(x) - f(1)]이므로 주어진 극한식은

[eqn: lim from {x -> 1} {1} over {x-1} int from {1} to {x} f'(t) dt = lim from {x -> 1} {f(x) - f(1)} over {x-1}]

미분계수의 정의에 의해

[eqn: lim from {x -> 1} {f(x) - f(1)} over {x-1} = f'(1)]

함수 [eqn: f(x) = x^{3} + 2x^{2} + 2]에서 도함수 [eqn: f'(x)]는

[eqn: f'(x) = 3x^{2} + 4x]

∴ [eqn: f'(1) = 3 times 1^{2} + 4 times 1 = 7]

따라서 정답은 [eqn: 7]이다.

방정식 [eqn: log` _{2} `x-3=log` _{x} `16]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱을 구하시오.

[eqn: 8]

로그의 진수 조건과 밑 조건에 의해 [eqn: x > 0], [eqn: x neq 1]이다.

[eqn: log_{x} 16 = log_{x} 2^{4} = 4 log_{x} 2 = {4} over {log_{2} x}]이므로 주어진 방정식은

[eqn: log_{2} x - 3 = {4} over {log_{2} x}]

[eqn: log_{2} x = t]라 하면 [eqn: t - 3 = {4} over {t}]

양변에 [eqn: t]를 곱하여 정리하면

[eqn: t^{2} - 3t - 4 = 0], [eqn: (t-4)(t+1) = 0]

[eqn: t = 4] 또는 [eqn: t = -1]

즉, [eqn: log_{2} x = 4] 또는 [eqn: log_{2} x = -1]이므로

[eqn: x = 2^{4} = 16] 또는 [eqn: x = 2^{-1} = {1} over {2}]

따라서 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱은 [eqn: 16 times {1} over {2} = 8]이다.

따라서 정답은 [eqn: 8]이다.

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]에서의 위치가 각각
[eqn: x_{1}(t)=t^{3}-3t^{2}-24t], [eqn: x_{2}(t)=t^{2}-at]
이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 운동 방향이 시각 [eqn: t=k]에서 동시에 바뀔 때, [eqn: a+k]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: k]는 상수이다.)

[eqn: 12]

점 [eqn: rmrmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 속도를 각각 [eqn: v_{1}(t)], [eqn: v_{2}(t)]라 하면

[eqn: v_{1}(t) = x_{1}'(t) = 3t^{2} - 6t - 24], [eqn: v_{2}(t) = x_{2}'(t) = 2t - a]

점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 바뀌는 시각은 [eqn: v_{1}(t) = 0]일 때이므로

[eqn: 3t^{2} - 6t - 24 = 0], [eqn: 3(t-4)(t+2) = 0]

[eqn: t>0]이므로 [eqn: t=4]

따라서 점 [eqn: rmP]는 [eqn: t=4]에서 운동 방향이 바뀌므로 [eqn: k=4]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 운동 방향이 시각 [eqn: t=4]에서 동시에 바뀌므로 점 [eqn: rmQ]도 [eqn: t=4]에서 운동 방향이 바뀐다.

즉, [eqn: v_{2}(4) = 0]이므로 [eqn: 8 - a = 0] ∴ [eqn: a = 8]

따라서 [eqn: a+k = 8+4 = 12]

따라서 정답은 [eqn: 12]이다.

공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 자연수 [eqn: d]의 값의 합을 구하시오.

(가) [eqn: a_{8} = 2a_{5} + 10]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} times a_{n+1} geq 0]이다.

[eqn: 18]

등차수열 [eqn: left { a_{n} right }]의 첫째항을 [eqn: a]라 하면

조건 (가)에서 [eqn: a_{8} = 2a_{5} + 10]이므로

[eqn: a + 7d = 2(a + 4d) + 10], [eqn: a + d + 10 = 0]

∴ [eqn: a = -d - 10]

조건 (나)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} times a_{n+1} geq 0]이다.

[eqn: d]가 자연수이므로 수열 [eqn: left { a_{n} right }]은 증가하는 수열이다.

이때 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 과정에서 [eqn: a_{n} times a_{n+1} < 0]인 항이 존재하지 않으려면, 수열의 어떤 항이 [eqn: 0]이어야 한다.

즉, 어떤 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_{k} = 0]이어야 한다.

[eqn: a_{k} = a + (k-1)d = -d - 10 + (k-1)d = (k-2)d - 10 = 0]

∴ [eqn: (k-2)d = 10]

[eqn: k]는 자연수이고 [eqn: d]는 자연수이므로 [eqn: k-2]는 [eqn: 10]의 양의 약수이다.

[eqn: 10]의 양의 약수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 10]이므로

[eqn: k-2 = 1]일 때, [eqn: d = 10]

[eqn: k-2 = 2]일 때, [eqn: d = 5]

[eqn: k-2 = 5]일 때, [eqn: d = 2]

[eqn: k-2 = 10]일 때, [eqn: d = 1]

따라서 모든 자연수 [eqn: d]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 10]이므로 그 합은

[eqn: 1 + 2 + 5 + 10 = 18]

따라서 정답은 [eqn: 18]이다.

상수항과 계수가 모두 음이 아닌 정수인 두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(2)+g(2)]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: lim_{x rightarrow infty} {{left { f(x) right } ^{2} g(x)} over {x^{5}}} = 4]

(나) [eqn: lim_{x rightarrow 0} {{f(x) left { g(x) right } ^{2}} over {x^{5}}} = 2]

[eqn: 16]

조건 (가)에서 [eqn: lim from {x -> inf} { left { f(x) right }^{2} g(x) } over {x^{5}} = 4]이므로 다항식 [eqn: left { f(x) right }^{2} g(x)]의 최고차항은 [eqn: 4x^{5}]이다.

[eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 최고차항의 차수를 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 하면

[eqn: 2m + n = 5] ……①

조건 (나)에서 [eqn: lim from {x -> 0} { f(x) left { g(x) right }^{2} } over {x^{5}} = 2]이므로 다항식 [eqn: f(x) left { g(x) right }^{2}]의 최저차항은 [eqn: 2x^{5}]이다.

[eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 최저차항을 각각 [eqn: ax^{p}], [eqn: bx^{q}] ([eqn: a], [eqn: b]는 자연수)라 하면

[eqn: f(x) left { g(x) right }^{2}]의 최저차항은 [eqn: ab^{2}x^{p+2q}]이므로

[eqn: p + 2q = 5], [eqn: ab^{2} = 2] ……②

[eqn: a], [eqn: b]는 자연수이므로 ②에서 [eqn: a = 2], [eqn: b = 1]이다.

[eqn: p leq m], [eqn: q leq n]이고 [eqn: m], [eqn: n], [eqn: p], [eqn: q]는 음이 아닌 정수이므로 ①, ②를 만족시키는 경우를 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: m = 0], [eqn: n = 5]일 때

[eqn: p = 0]이므로 [eqn: 2q = 5]가 되어 [eqn: q]가 정수라는 조건에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: m = 1], [eqn: n = 3]일 때

[eqn: p leq 1]이므로 [eqn: p = 1]이면 [eqn: q = 2]이다.

[eqn: f(x)]는 최고차항과 최저차항이 모두 [eqn: 1]차이고 그 계수가 [eqn: 2]이므로 [eqn: f(x) = 2x]이다.

[eqn: g(x)]는 최고차항이 [eqn: 3]차, 최저차항이 [eqn: 2]차이고 [eqn: 2]차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: g(x) = cx^{3} + x^{2}] ([eqn: c]는 자연수)라 할 수 있다.

이때 [eqn: left { f(x) right }^{2} g(x) = 4x^{2} (cx^{3} + x^{2}) = 4cx^{5} + 4x^{4}]이므로 조건 (가)에 의해 최고차항의 계수는 [eqn: 4c = 4]에서 [eqn: c = 1]이다.

∴ [eqn: g(x) = x^{3} + x^{2}]

(ⅲ) [eqn: m = 2], [eqn: n = 1]일 때

[eqn: p leq 2], [eqn: q leq 1]이므로 [eqn: p + 2q leq 4]가 되어 [eqn: p + 2q = 5]라는 조건에 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: f(x) = 2x], [eqn: g(x) = x^{3} + x^{2}]이다.

[eqn: f(2) = 4], [eqn: g(2) = 12]이므로

[eqn: f(2) + g(2) = 4 + 12 = 16]

따라서 정답은 [eqn: 16]이다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]([eqn: 0 leq b leq pi])에 대하여 닫힌구간 [eqn: LEFT [ {pi} over {2} ,`a RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f(x)=2cos(3x+b)]의 최댓값은 [eqn: 1]이고 최솟값은 [eqn: -sqrt{3}]이다. [eqn: a TIMES b= {q} over {p} pi ^{2}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 14]

[eqn: 3x+b = t]라 하면 [eqn: x = {pi} over {2}]일 때 [eqn: t = {3pi} over {2} + b]이고, [eqn: x = a]일 때 [eqn: t = 3a+b]이다.

따라서 [eqn: t]의 범위는 [eqn: {3pi} over {2} + b leq t leq 3a+b]이다.

함수 [eqn: f(x) = 2 cos t]의 최댓값이 [eqn: 1], 최솟값이 [eqn: - sqrt{3}]이므로

이 구간에서 [eqn: cos t]의 최댓값은 [eqn: {1} over {2}], 최솟값은 [eqn: - {sqrt{3}} over {2}]이다.

[eqn: 0 leq b leq pi]이므로 [eqn: {3pi} over {2} leq {3pi} over {2} + b leq {5pi} over {2}]이다.

(ⅰ) [eqn: {3pi} over {2} leq {3pi} over {2} + b leq {5pi} over {3}]인 경우 ([eqn: 0 leq b leq {pi} over {6}])

[eqn: t = {3pi} over {2} + b]에서 [eqn: cos t = sin b geq 0]이다.

최댓값이 [eqn: {1} over {2}]이 되려면 [eqn: 3a+b leq {5pi} over {3}]이어야 하므로 [eqn: cos t]의 최솟값은 [eqn: sin b geq 0]이 되어 [eqn: - {sqrt{3}} over {2}]가 될 수 없다.

(ⅱ) [eqn: {5pi} over {3} < {3pi} over {2} + b < {7pi} over {3}]인 경우 ([eqn: {pi} over {6} < b < {5pi} over {6}])

[eqn: t = {3pi} over {2} + b]에서 [eqn: cos t > {1} over {2}]이므로 최댓값이 [eqn: {1} over {2}]이라는 조건에 모순이다.

(ⅲ) [eqn: {7pi} over {3} leq {3pi} over {2} + b leq {5pi} over {2}]인 경우 ([eqn: {5pi} over {6} leq b leq pi])

[eqn: t = {3pi} over {2} + b]에서 [eqn: cos t leq {1} over {2}]이다.

최댓값이 [eqn: {1} over {2}]이 되려면 시작점에서의 함숫값이 [eqn: {1} over {2}]이어야 하므로 [eqn: cos left ( {3pi} over {2} + b right ) = {1} over {2}]이다.

따라서 [eqn: {3pi} over {2} + b = {7pi} over {3}]에서 [eqn: b = {5pi} over {6}]이다.

이때 [eqn: t]의 범위는 [eqn: {7pi} over {3} leq t leq 3a + {5pi} over {6}]이다.

이 구간에서 [eqn: cos t]는 감소하므로 최솟값은 [eqn: t = 3a + {5pi} over {6}]일 때 가진다.

[eqn: cos left ( 3a + {5pi} over {6} right ) = - {sqrt{3}} over {2}]이고, [eqn: cos t]의 최솟값이 [eqn: -1]이 되지 않아야 하므로 [eqn: 3a + {5pi} over {6} = {17pi} over {6}]이다.

[eqn: 3a = 2pi]에서 [eqn: a = {2pi} over {3}]이다.

따라서 [eqn: a times b = {2pi} over {3} times {5pi} over {6} = {5} over {9} pi^{2}]이므로 [eqn: p = 9], [eqn: q = 5]이다.

∴ [eqn: p+q = 14]

따라서 정답은 [eqn: 14]이다.

최고차항의 계수가 양수이고 [eqn: f'(2)<0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} -4&``` LEFT ( x<2 RIGHT )#- int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} +4&``` LEFT ( x GEQ 2 RIGHT )}}]
이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim_{x rightarrow 2-} {g(x)-4} over {x-2} = lim_{x rightarrow 2+} {g(x)+4} over {x-2} = g'(0)]

(나) 방정식 [eqn: g(x)=4]는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

[eqn: f(5)]의 값을 구하시오.

[eqn: 30]

[eqn: x < 2]일 때 [eqn: g_{1}(x) = int_{0}^{x} f(t)dt - 4]라 하면 [eqn: g_{1}'(x) = f(x)]이다.

조건 (가)에서 [eqn: x -> 2-]일 때 극한값이 존재하므로 [eqn: lim from {x -> 2-} g_{1}(x) = 4]에서 [eqn: int_{0}^{2} f(t)dt - 4 = 4]

∴ [eqn: int_{0}^{2} f(t)dt = 8] ……①

이때 좌극한은 [eqn: lim from {x -> 2-} {g_{1}(x)-g_{1}(2)} over {x-2} = g_{1}'(2) = f(2)]이다.

[eqn: x geq 2]일 때 [eqn: g_{2}(x) = -int_{0}^{x} f(t)dt + 4]라 하면 [eqn: g_{2}'(x) = -f(x)]이다.

[eqn: x -> 2+]일 때 극한값이 존재하므로 [eqn: lim from {x -> 2+} g_{2}(x) = -4]에서 [eqn: -int_{0}^{2} f(t)dt + 4 = -4] (①과 일치)

이때 우극한은 [eqn: lim from {x -> 2+} {g_{2}(x)-g_{2}(2)} over {x-2} = g_{2}'(2) = -f(2)]이다.

조건 (가)에 의해 [eqn: f(2) = -f(2) = g'(0)]이고, [eqn: x < 2]에서 [eqn: g'(0) = g_{1}'(0) = f(0)]이므로

[eqn: f(2) = 0], [eqn: f(0) = 0]이다.

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이므로 [eqn: f(x) = ax(x-2)(x-k)] ([eqn: a>0])라 하면

[eqn: f'(x) = a(x-2)(x-k) + ax(x-k) + ax(x-2)]

[eqn: f'(2) = 2a(2-k) < 0]에서 [eqn: a>0]이므로 [eqn: k > 2]이다.

①에 의해 [eqn: int_{0}^{2} a(x^3 - (k+2)x^2 + 2kx) dt = 8]

[eqn: a left [ {1} over {4}x^4 - {k+2} over {3}x^3 + kx^2 right ]_{0}^{2} = a left ( 4 - {8(k+2)} over {3} + 4k right ) = 8]

정리하면 [eqn: a(k-1) = 6] ……②

[eqn: F(x) = int_{0}^{x} f(t)dt]라 하면 [eqn: F'(x) = f(x)]이다.

방정식 [eqn: g(x) = 4]는 [eqn: x < 2]일 때 [eqn: F(x) = 8], [eqn: x geq 2]일 때 [eqn: F(x) = 0]이다.

[eqn: x < 0]에서 [eqn: F'(x) < 0]이므로 [eqn: F(x)]는 감소하고, [eqn: 0 < x < 2]에서 [eqn: F'(x) > 0]이므로 [eqn: F(x)]는 증가한다.

[eqn: F(0) = 0], [eqn: F(2) = 8]이고 [eqn: x < 0]에서 [eqn: F(x)]는 감소하므로 [eqn: x < 2]에서 [eqn: F(x) = 8]인 실근은 [eqn: x < 0]에 [eqn: 1]개 존재한다.

조건 (나)에서 [eqn: g(x) = 4]의 실근이 [eqn: 2]개이므로 [eqn: x geq 2]에서 [eqn: F(x) = 0]인 실근이 [eqn: 1]개 존재해야 한다.

[eqn: x geq 2]에서 [eqn: F'(x)]는 [eqn: x=k]에서 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=k]에서 최솟값을 갖는다.

따라서 [eqn: x geq 2]에서 [eqn: F(x) = 0]인 실근이 [eqn: 1]개이려면 [eqn: F(k) = 0]이어야 한다.

[eqn: F(k) = a left [ {1} over {4}x^4 - {k+2} over {3}x^3 + kx^2 right ]_{0}^{k} = a k^3 left ( {1} over {4}k - {k+2} over {3} + 1 right ) = 0]

[eqn: a>0], [eqn: k>2]이므로 [eqn: -{1} over {12}k + {1} over {3} = 0]

∴ [eqn: k = 4]

②에 대입하면 [eqn: 3a = 6]에서 [eqn: a = 2]

따라서 [eqn: f(x) = 2x(x-2)(x-4)]이다.

[eqn: f(5) = 2 times 5 times 3 times 1 = 30]

따라서 정답은 [eqn: 30]이다.